埋锅。。。BZOJ1004-置换群+burnside定理+

  看这道题时当时觉得懵逼。。。这玩意完全看不懂啊。。。什么burnside。。。难受。。。

  于是去看了点视频和资料，大概懂了置换群和burnside定理，亦步亦趋的懂了别人的代码，然后慢慢的打了出来。。。高兴的一匹。

回归正题啊，这个题如果大家不懂置换群的概念。。。是很难看的懂的，M种洗牌，代表了M种置换，加上自己本身一种，构成看M+1种置换，如果一种可以通过任意的洗牌法洗成另一种的看成一类（这就是等价类的定义），问有多少种染色方法？？？

这道题很明显嘛，就是算等价类的数目，这个需要用到burnside定理。。。

我们可以求所有循环长度为1的循环的个数，用burnside来求

对于置换i，求出它的循环节，每个循环节必须染成同一个颜色，但是对总数有限制

f[i][j][k]表示用i个红色，j个蓝色，k个绿色的方案数

把每个循环节视为一个物品，权值为长度。

f[i][j][k]=f[i-d[p]][j][k]+f[i][j-d[p]][k]+f[i][j][k-d[p]] 

d[p]表示第p个循环节的长度

注意枚举顺序，p要在最外面，保证每个物品只取一次

置换的循环在不变元素中一定是一个颜色

嘤嘤。。。。我也没有懂DP啊。如果哪个大佬懂了，一定要给我说一下啊！！！

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啊我懂了，这个dp[i]就代表这个循环的长度，那么我们f[i][j][k]=f[i-d[p]][j][k]+f[i][j-d[p]][k]+f[i][j][k-d[p]] 就代表这个循环分别全部是是红，蓝，绿的数目之和，求到最后的f[sr][sb][sg]就是全部的循环长度为1的个数。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int sr,sb,sg,m,p;
int a[100];//记录置换
int b[100];//b[i]表示循环长度为i
int f[30][30][30];//f[i][j][k]在i个红色,j个黄色.k个蓝色
int vis[100];//记录是否是否在一个类里面
int n;
int qpow(int a,int b){
  int ans=1;
  while(b){
    if (b&1)ans=ans*a%p;
    a=a*a%p;
    b/=2;
  }
  return ans%p;
}
int dfs(){
  memset(f,0,sizeof(f));
  memset(vis,0,sizeof(vis));
  int tot=0;
  for (int i=1;i<=n;i++){//求循环的个数和阶数
    if (!vis[i]){
        vis[i]=1;
        tot++;
        b[tot]=1;
        int j=i;
        while(!vis[a[j]]){
            j=a[j];
            vis[j]=1;
            b[tot]++;
        }
    }
  }
  f[0][0][0]=1;//求所有循环长度为1的循环的个数 置换的循环在不变元素中一定是一个颜色
  for (int z=1;z<=tot;z++){
     for (int i=sr;i>=0;i--){
        for (int j=sb;j>=0;j--){
            for (int k=sg;k>=0;k--){
              if (i>=b[z])f[i][j][k]+=f[i-b[z]][j][k];
              if (j>=b[z])f[i][j][k]+=f[i][j-b[z]][k];
              if (k>=b[z])f[i][j][k]+=f[i][j][k-b[z]];
              f[i][j][k]=f[i][j][k]%p;
            }
        }
     }
  }
   return f[sr][sb][sg];
}
int main(){
  int ans;
  while(~scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&p)){
     n=sr+sb+sg;
     ans=0;
     for(int i=1;i<=m;i++){
        for (int j=1;j<=n;j++){
           scanf("%d",&a[j]);
        }
        ans+=dfs();
        ans=ans%p;
     }
    m++;
    for (int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;
    ans+=dfs();ans=ans%p;
    ans=ans*qpow(m,p-2)%p;
    printf("%d\n",ans);
  }
  return 0;
}

 

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<map>using namespace std;int sr,sb,sg,m,p;int a[100];//记录置换int b[100];//b[i]表示循环长度为iint f[30][30][30];//f[i][j][k]在i个红色,j个黄色.k个蓝色int vis[100];//记录是否是否在一个类里面int n;int qpow(int a,int b){  int ans=1;  while(b){    if (b&1)ans=ans*a%p;    a=a*a%p;    b/=2;  }  return ans%p;}int dfs(){  memset(f,0,sizeof(f));  memset(vis,0,sizeof(vis));  int tot=0;  for (int i=1;i<=n;i++){//求循环的个数和阶数    if (!vis[i]){        vis[i]=1;        tot++;        b[tot]=1;        int j=i;        while(!vis[a[j]]){            j=a[j];            vis[j]=1;            b[tot]++;        }    }  }  f[0][0][0]=1;//求所有循环长度为1的循环的个数 置换的循环在不变元素中一定是一个颜色  for (int z=1;z<=tot;z++){     for (int i=sr;i>=0;i--){        for (int j=sb;j>=0;j--){            for (int k=sg;k>=0;k--){              if (i>=b[z])f[i][j][k]+=f[i-b[z]][j][k];              if (j>=b[z])f[i][j][k]+=f[i][j-b[z]][k];              if (k>=b[z])f[i][j][k]+=f[i][j][k-b[z]];              f[i][j][k]=f[i][j][k]%p;            }        }     }  }   return f[sr][sb][sg];}int main(){  int ans;  while(~scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&p)){     n=sr+sb+sg;     ans=0;     for(int i=1;i<=m;i++){        for (int j=1;j<=n;j++){           scanf("%d",&a[j]);        }        ans+=dfs();        ans=ans%p;     }    m++;    for (int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;    ans+=dfs();ans=ans%p;    ans=ans*qpow(m,p-2)%p;    printf("%d\n",ans);  }  return 0;}