【思维】中位数与顺序统计

算法定义

在统计学中，中值（又称中位数）代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中值。如果观察值有偶数个，则中值不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中值。

一个数集中最多有一半的数值小于中值，也最多有一半的数值大于中值。如果大于和小于中值的数值个数均少于一半，那麽数集中必有若干值等同于中值。

设连续随机变量X的分布函数为F(X)，那么满足条件P(X≤m)=F(m)=1/2的数称为X或分布F的中位数。

对于一组有限个数的数据来说，它们的中位数是这样的一种数：这群数据里的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。 计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。中位数统计学的函数符号为MEDIAN。

算法描述 

针对中位数，我们可以抽象的定义一个选择问题，描述如下：

输入：一个包含n个不同数的集合A和一个数i, i <= i <= n

输出:恰大于A中i-1个元素的那个元素

白话描述: 写一个函数，输入一个数组和索引。返回第索引大的数字。如[1,5,6,3] 中第2(i=2)大的元素为3.

针对这个需求。最直观的想法是找一个比较好的排序算法如堆排序等，用n(lgn)的复杂度排好序然后用线性的复杂度选择元素。那么是否还有更优复杂度的算法呢？显然是有的。

这里的算法整个思路和前面讲的 随机版快速排序的思路是一致的。平均复杂度为O(n)的线性复杂度

源码描述

function RandomSelect(arr, start, end, i) {

    if (start == end) return arr[start];

    // 随机选择一个分割下标

    var q = RandomPartition(arr, start, end); 

    var k = q - start + 1;

    // 如果所需要的值的大小位置正好等于K下标。那么直接返回

    if (i == k) {

        return arr[q];

    // 如果小于K那么表示所需的元素在前一半分割元素堆里。那么直接在start~q-1的堆里去找第i个大小元素即可

    } else if (i < k) {

        return RandomSelect(arr, start, q-1, i);

    // 如果大于K那么表示所需的元素在后一半分割元素堆里。那么已经排除了K个元素。所以应该找第i-k大的元素

    } else {

        return RandomSelect(arr, q+1, end, i-k);

    }

}



function swap(arr, a, b) {

    if (a == b) return; 

    var temp = arr[a];

    arr[a] = arr[b];

    arr[b] = temp;

}



// 数组分割

function Partition(arr, start, end) {

    var pivot = arr[end]; // 将数组最后一个元素作为主元

    var i = start - 1; // 指定一个指针

    for (var j = start; j < end; j++) {

        if (arr[j] <= pivot)  { // 如果当前元素小于主元

            i = i + 1;

            swap(arr, i, j);

        } 

    }

    swap(arr, i + 1, end);

    return (i + 1);

}



// 随机交换主元后再Partition

function RandomPartition(arr, start, end) {

    var i = Math.floor(Math.random() * (end - start + 1) + start);

    swap(arr, end, i);

    return Partition(arr, start, end);

}



var arr = [1,3,6,8,4], len = arr.length-1;

var re = RandomSelect(arr, 0, len, 2);

alert(re);