转动惯量矩阵推导

质点的角动量

角动量是矢量，可用位矢和动量的矢积表示：

\begin{matrix} (1) & \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \end{matrix}

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \tag{1}$

惯性张量

对于通过质心，绕任意轴以角速度 $\omega$ 旋转的刚体，对于质心的角动量定义为：

H_{c g} = \int (\vec{r} \times (\vec{ω} \times \vec{r})) d m

$H_{cg} = \int(\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})) dm$

r和w可以写成向量：

\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{z}

$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{z}$

\vec{ω} = ω_{x} \vec{i} + ω_{y} \vec{j} + ω_{z} \vec{z}

$\vec{\omega} = \omega_x\vec{i} + \omega_y\vec{j} + \omega_z\vec{z}$

向量叉乘可以写成矩阵和向量相乘的形式：

\vec{r} \times \vec{q} = [\begin{matrix} r_{y} q_{z} - r_{z} q_{y} \\ r_{z} q_{x} - r_{x} q_{z} \\ r_{x} q_{y} - r_{y} q_{x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & - r_{z} & r_{y} \\ r_{z} & 0 & - r_{x} \\ - r_{y} & r_{x} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{x} \\ q_{y} \\ q_{z} \end{matrix}]

$\vec{r} \times \vec{q} = \begin{bmatrix} r_y q_z - r_z q_y \\ r_z q_x - r_x q_z \\ r_x q_y -r_y q_x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \\ q_z \end{bmatrix}$

因此展开角动量公式里的叉乘：

H_{c g} = \int (\vec{r} \times (\vec{ω} \times \vec{r})) d m = \int ([\begin{matrix} 0 & - z & y \\ z & 0 & - x \\ - y & x & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - ω_{z} & ω_{y} \\ ω_{z} & 0 & - ω_{x} \\ - ω_{y} & ω_{x} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]) d m = \int ([\begin{matrix} - z ω_{z} - y ω_{y} & y ω_{x} & z ω_{x} \\ x ω_{y} & - z ω_{z} - x ω_{x} & z ω_{y} \\ x ω_{z} & y ω_{z} & - y ω_{y} - x ω_{x} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]) d m = \int ([\begin{matrix} (y^{2} + z^{2}) ω_{x} - x z ω_{z} - x y ω_{y} \\ (x^{2} + z^{2}) ω_{y} - y z ω_{z} - x y ω_{x} \\ (x^{2} + y^{2}) ω_{z} - y z ω_{y} - x z ω_{x} \end{matrix}]) d m

$H_{cg} = \int(\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})) dm = \int( \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} ) dm \\ = \int( \begin{bmatrix} -z\omega_z-y\omega_y & y\omega_x & z\omega_x \\ x\omega_y & -z\omega_z-x\omega_x & z\omega_y \\ x\omega_z & y\omega_z & -y\omega_y-x\omega_x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} ) dm \\ = \int( \begin{bmatrix} (y^2+z^2)\omega_x-xz\omega_z - xy\omega_y \\ (x^2+z^2)\omega_y -yz\omega_z-xy\omega_x \\ (x^2+y^2)\omega_z - yz\omega_y - xz\omega_x \end{bmatrix} ) dm \\$

令：

I_{x x} = \int (y^{2} + z^{2}) d m

$I_{xx} = \int(y^2+z^2)dm$

I_{y y} = \int (x^{2} + z^{2}) d m

$I_{yy} = \int(x^2+z^2)dm$

I_{z z} = \int (y^{2} + x^{2}) d m

$I_{zz} = \int(y^2+x^2)dm$

I_{x y} = I_{y x} = \int (x y) d m

$I_{xy} = I_{yx} = \int(xy)dm$

I_{x z} = I_{z x} = \int (x z) d m

$I_{xz} = I_{zx} = \int(xz)dm$

I_{y z} = I_{z y} = \int (y z) d m

$I_{yz} = I_{zy} = \int(yz)dm$

上式可改写为：

H_{c g} = [\begin{matrix} I_{x x} ω_{x} - I_{x z} ω_{z} - I_{x y} ω_{y} \\ I_{y y} ω_{y} - I_{y z} ω_{z} - I_{x y} ω_{x} \\ I_{z z} ω_{z} - I_{y z} ω_{y} - I_{x z} ω_{x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} I_{x x} & - I_{x y} & - I_{x z} \\ - I_{x y} & I_{y y} & - I_{y z} \\ - I_{x z} & - I_{y z} & I_{z z} \end{matrix}] [\begin{matrix} ω_{x} \\ ω_{y} \\ ω_{z} \end{matrix}]

$H_{cg} = \begin{bmatrix} I_{xx}\omega_x-I_{xz}\omega_z - I_{xy}\omega_y \\ I_{yy}\omega_y -I_{yz}\omega_z-I_{xy}\omega_x \\ I_{zz}\omega_z -I_{yz}\omega_y - I_{xz}\omega_x \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$

令矩阵I：

I = [\begin{matrix} I_{x x} & - I_{x y} & - I_{x z} \\ - I_{x y} & I_{y y} & - I_{y z} \\ - I_{x z} & - I_{y z} & I_{z z} \end{matrix}]

$I = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}$

最终得到：

H_{c g} = I \vec{ω}

$H_{cg} = I\vec{\omega}$

I就是转动惯量。

上式两边对于时间求导，在极短的时间内可以认为惯性矩阵I是常量：

\frac{d H_{c g}}{d t} = I \frac{d \vec{ω}}{d t} = I \vec{α}

$\frac{d H_{cg}}{dt} = I \frac{d \vec{\omega}}{dt} = I \vec{\alpha}$

根据角动量定理(总外力矩等于刚体角动量的时间变化率)，左侧就是外力矩，因此：

\begin{matrix} (6) & \vec{M} = I \vec{α} \Rightarrow I^{- 1} \vec{M} = \vec{α} \end{matrix}

$\vec{M} = I \vec{\alpha} \Rightarrow I^{-1} \vec{M} = \vec{\alpha} \tag{6}$

这是旋转的运动学公式，总外力矩克服转动惯量，给予物体于角加速度。
和平移运动公式 $\vec{F}=m\vec{a}$ 具有一样结构和地位。

计算转动惯量

I_{x x} = \int (y^{2} + z^{2}) d m

$I_{xx} = \int(y^2+z^2)dm$

I_{y y} = \int (x^{2} + z^{2}) d m

$I_{yy} = \int(x^2+z^2)dm$

I_{z z} = \int (y^{2} + x^{2}) d m

$I_{zz} = \int(y^2+x^2)dm$

I_{x y} = I_{y x} = \int (x y) d m

$I_{xy} = I_{yx} = \int(xy)dm$

I_{x z} = I_{z x} = \int (x z) d m

$I_{xz} = I_{zx} = \int(xz)dm$

I_{y z} = I_{z y} = \int (y z) d m

$I_{yz} = I_{zy} = \int(yz)dm$

I = [\begin{matrix} I_{x x} & - I_{x y} & - I_{x z} \\ - I_{x y} & I_{y y} & - I_{y z} \\ - I_{x z} & - I_{y z} & I_{z z} \end{matrix}]

$I = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}$

根据它的定义，坐标系恒定情况下，当物体姿态发生变化后，各个质量微原的位置发生了变化，因此每个量都需要重新计算，这带来了很大计算量。

然而实际不需要那么麻烦。

将I写成另一种形式：

I = \sum m_{i} (r_{i}^{T} r_{i} 1 - r_{i} r_{i}^{T})

$I=\sum m_i(r_i^T r_i 1 - r_i r_i^T)$

其中 1代表单位矩阵。

如图在参考姿态下：

I_{r e f} = \sum m_{i} (r_{i}^{T} r_{i} 1 - r_{i} r_{i}^{T})

$I_{ref}=\sum m_i(r_i^T r_i 1 - r_i r_i^T)$

当物体旋转后，原来的微原位于 $Rr_i$ 处，因此

I = \sum m_{i} ((R r_{i})^{T} (R r_{i}) 1 - (R r_{i}) (R r_{i})^{T}) = \sum m_{i} (r_{i}^{T} R^{T} R r_{i} 1 - R r_{i} r_{i}^{T} R^{T}) = \sum m_{i} (r_{i}^{T} r_{i} 1 - R r_{i} r_{i}^{T} R^{T}) = \sum m_{i} (R r_{i}^{T} r_{i} 1 R^{T} - R r_{i} r_{i}^{T} R^{T}) = \sum m_{i} R (r_{i}^{T} r_{i} 1 - r_{i} r_{i}^{T}) R^{T} = R I_{r e f} R^{T}

$I=\sum m_i((Rr_i)^T (Rr_i) 1 - (Rr_i) (Rr_i)^T) \\ =\sum m_i(r_i^T R^T Rr_i 1 - Rr_i r_i^T R^T) \\ =\sum m_i(r_i^T r_i 1 - Rr_i r_i^T R^T) \\ =\sum m_i(R r_i^T r_i 1 R^T - Rr_i r_i^T R^T) \\ =\sum m_i R(r_i^T r_i 1 - r_i r_i^T) R^T \\ =R I_{ref} R^T$

最后：