学习笔记：多项式半家桶

已经吃撑了

多项式求逆

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对于多项式 \(A(x)\) ，求多项式 \(B(x)\)， 满足 \(A(x) * B(x) \equiv 1 \pmod{x^n}\)。

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递归求解。

求模 \(x^n\) 的逆元时，假设先求出了模 \(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\) 的逆元。

设模 \(x^n\) 逆元为 \(B\)，模 \(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\) 逆元为 \(B'\)，则：

\[A*B'\equiv 1\pmod {x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}} \]

且

\[A*B\equiv 1\pmod {x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}} \]

所以

\[B'-B\equiv 0\pmod {x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}} \]

\[(B'-B)^2\equiv 0\pmod {x^n} \]

\[B'^2-2BB'+B^2\equiv 0\pmod {x^n} \]

\[AB'^2-2B'+B\equiv 0\pmod {x^n} \]

\[B\equiv 2B'-AB'^2\pmod {x^n} \]

然后就可以从下往上递推了,注意边界

一个加速的技巧是把 \(B'\) 和 \(A'\) 转成点值表达式后直接算出 \(B'\) 的点值表达式，这样可以减少NTT的次数，显著提高效率(指7000ms-->1000ms)

求逆

void inverse(int *A,int *B,int n){
    static int a[M],b[M];
    b[0]=qpow(A[0],Mod-2,Mod);
    int bas=2;
    while(bas<=2*n){
        for(int i=0;i<bas;i++) a[i]=A[i];
        int len=init(bas+bas-2);
        NTT(b,len,1);NTT(a,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++) b[i]=(1ll*b[i]*2%Mod-1ll*a[i]*b[i]%Mod*b[i]%Mod+Mod)%Mod;
        NTT(b,len,-1);
        for(int i=bas;i<len;i++) b[i]=0;
        bas<<=1;
    }
    for(int i=0;i<bas;i++) B[i]=b[i];
    for(int i=0;i<bas;i++) a[i]=b[i]=0;
}

多项式开根

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对于一个 \(n-1\) 次多项式 \(F(x)\)，求一个在 \({} \bmod x^n\) 意义下的多项式 \(G(x)\)，使得 \(G^2(x) \equiv F(x) \pmod{x^n}\)。若有多解，请取零次项系数较小的作为答案。

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设 \(H^2(x)\equiv F(x)(mod\ x^{\lceil\frac n2 \rceil})\)

有：

\[G(x)\equiv H(x)(mod\ x^{\lceil\frac n2 \rceil}) \]

\[G(x)-H(x)\equiv 0(mod\ x^{\lceil\frac n2 \rceil}) \]

\[(G(x)-H(x))^2\equiv 0(mod\ x^{\lceil\frac n2 \rceil}) \]

\[G^2(x)-2H(x)*G(x)+H^2(x)\equiv 0(mod\ x^n) \]

\[F(x)-2H(x)*G(x)+H^2(x)\equiv 0(mod\ x^n) \]

\[G(x)=\frac {F(x)+H^2(x)}{2H(x)} \]

同样可以递推实现

开根

void Sqrt(int *A,int *B,int n){
    static int a[M],b[M],revb[M];
    b[0]=1;
    int bas=2;
    while(bas<=2*n){
        for(int i=0;i<bas;i++) a[i]=A[i];
        inverse(b,revb,bas-1);
        Mul(revb,a,a,bas-1,bas-1);
        for(int i=0;i<bas;i++) b[i]=1ll*add(a[i],b[i])*inv2%Mod;
        bas<<=1;
    }
    for(int i=0;i<bas;i++) B[i]=b[i];
    for(int i=0;i<bas;i++) a[i]=b[i]=revb[i]=0;
}

多项式求导

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求多项式 \(F(x)\) 的导数 \(F'(x)\)

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因为

\[f(x)=x^n \\ f'(x)=nx^{n-1} \]

所以

\[F'(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i+1}(i+1)x^i \]

求导

void Dao(int *A,int *B,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) B[i-1]=1ll*A[i]*i%Mod;
    B[n]=0;
}

多项式求不定积分

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求多项式 \(F(x)\) 的不定积分 \(G(x)\)

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因为

\[\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1} \]

所以

\[G(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i-1}}{i} \\ \]

积分(暗藏玄只因)

void Zhiyin(int *A,int *B,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) B[i]=1ll*A[i-1]*qpow(i,Mod-2,Mod)%Mod;
    B[0]=0;
}

多项式求Ln

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给出 \(n-1\) 次多项式 \(A(x)\)，求一个 \(\bmod{\:x^n}\) 下的多项式 \(B(x)\)，满足 \(B(x) \equiv \ln A(x)\).

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为了这个学了导数

\[B(x)=F(A(x)),F(x)=ln(x) \]

因为\(F'(x)=\frac{1}{x}\)

所以

\[B'(x)=F'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)} \]

所以对 \(A\) 求导再求逆再乘起来再积回去就行了

求Ln

void Ln(int *A,int *B,int n){
    static int a[M],b[M];
    Dao(A,a,n);
    inverse(A,b,n);
    Mul(a,b,a,n,n);
    Zhiyin(a,B,n);
}

多项式求exp

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给出 \(n-1\) 次多项式 \(A(x)\)，求一个 \(\bmod{\:x^n}\) 下的多项式 \(B(x)\)，满足 \(B(x) \equiv \text e^{A(x)}\)。

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咕了，要用到泰勒展开和牛顿迭代，什么时候看懂了再补过程

求exp

void Exp(int *A,int *B,int n){
    if(n==0) return B[0]=1,void();
    static int f[M];
    Exp(A,B,n>>1);
    Ln(B,f,n);
    f[0]=minu(A[0]+1,f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=minu(A[i],f[i]);
    Mul(f,B,B,n,n);
}