关于exgcd

对于二元一次不定方程 $ax+by=c$

首先由裴蜀定理得， $ax+by=gcd(a,b),\;gcd(a,b)\mid c$

a x + b y = g c d (a, b)

$ax+by=gcd(a,b)\\$

b x + (a % b) y = g c d (b, a % b)

$bx+(a\%b)y=gcd(b,a\%b) \\$

∵ g c d (a, b) = g c d (b, a % b)

$\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \\$

∴ a x + b y = b x + (a - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ b) y

$\therefore ax+by=bx+(a-\lfloor\frac{a}{b} \rfloor b)y \\$

∴ a x + b y = a y + (x - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ y) b

$\therefore ax+by=ay+(x-\lfloor\frac{a}{b} \rfloor y)b$

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}

对于方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 两边同时乘以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ ，得到一组特解 $x_0 ,\; y_0$

x_{0} = \frac{c x}{g c d (a, b)}

$x_0=\frac{cx}{gcd(a,b)}$

y_{0} = \frac{c y}{g c d (a, b)}

$y_0=\frac{cy}{gcd(a,b)}$

考虑推通解：

a x_{0} + b y_{0} = c

$ax_0+by_0=c$

a (x_{0} + k b) + b (y_{0} - k a) = c

$a(x_0+kb)+b(y_0-ka)=c$

令 $d_x$ 为满足要求的 $kb$ 的最小整数， $d_y$ 为满足要求的 $ka$ 的最小整数，因为 $ka,kb$ 都是整数，当 $k=\frac{1}{gcd(a,b)}$ 时

d_{x} = \frac{b}{g c d (a, b)}

$d_x=\frac {b}{gcd(a,b)}$

d_{y} = \frac{a}{g c d (a, b)}

$d_y=\frac {a}{gcd(a,b)}$

方程通解可以表示为：

x = x_{0} + k d_{x}

$x=x_0+kd_x$

y = y_{0} - k d_{y}

$y=y_0-kd_y$

当 $x>0$ 时 $k>\frac{-x_0}{d_x}$

当 $y>0$ 时 $k>\frac{y_0}{d_y}$

$x,y$ 同时取到正整数，当且仅当

⌈ \frac{- x_{0} + 1}{d_{x}} ⌉ \leq ⌊ \frac{y_{0} - 1}{d_{y}} ⌋

$\lceil\frac{-x_0+1}{d_x}\rceil\leq \lfloor\frac{y_0-1}{d_y} \rfloor$

当 $x$ 取得最小值时， $y$ 取得最大值

void work(){
    int a=read(),b=read(),c=read();
    int x=0,y=0;
    int g=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%g!=0){//根据裴蜀定理，g不整除必无解
        printf("-1\n");
        return;
    }
    x=x*c/g;y=y*c/g;//求出特解
    int kx=b/g;
    int ky=a/g;
    int l=ceil(1.0*(-x+1)/kx);
    int r=floor(1.0*(y-1)/ky);
    if(l<=r){//两个都是正整数
        int num=r-l+1;//解的个数
        //当x取最小时，y对应取最大
        int minx=x+l*kx,maxy=y-l*ky;
        //当y取最小时，x对应取最大
        int miny=y-r*ky,maxx=x+r*kx;
        //printf("%lld %lld %lld\n",x,r,kx);
        printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",num,minx,miny,maxx,maxy);
    }
    else{
        int minx=x+l*kx;
        int miny=y-r*ky;
        printf("%lld %lld\n",minx,miny);
    }
}