导数、积分瞎记

定义式

\[f^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

导数不是用来测量瞬时变化率的，而是测量瞬时变化率的最佳近似。\(\Delta x\) 再小也是存在的，它也是一段变化量。

常见导数：

\[(a^x)^{'} = xa^{x-1} \]

\[(C)^{'} = 0 \]

\[(e^k)^{'} =e^k \]

\[(\ln x)^{'}= \frac{1}{x} \]

\[(\sin x)^{'} = \cos x \]

\[(\cos x)^{'} = -\sin x \]

不常见的：

\[(\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^2x} \]

\[(\cot x)^{'} = -\frac{1}{\sin^2x} \]

\[a^x = \ln a(a^x) \]

\[(\log_ax)^{'} = \frac{1}{x\ln a} \]

运算法则

\[(f(x)+g(x)+h(x)+\dots)^{'} = f^{'}(x) + g^{'}(x) + h^{'}(x) +\dots \]

\[(kf(x))^{'} = kf^{'}(x) , k \text{是常数} \]

\[(f(x) \cdot g(x))^{'} = f^{'}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{'}(x) \]

\[(\frac{f(x)}{g(x)})^{'} = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{g^2(x)} \]

\[(g(f(x))^{'} = g^{'}(f(x)) \cdot f^{'}(x) \]

这个就是复合函数的导数，举个例子。

\[(\sqrt{\sin x})^{'} = \frac{1}{2}\sin^{-\frac{1}{2}} x \cdot \cos x \]

遵循一个链式法则，把里面换个元，逐层分解即可。再来个例子

\[(\sqrt{\sin x^2}) = \frac{1}{2}\sin^{-\frac{1}{2}}x^2 \cdot \cos x^2 \cdot 2x \]

\[= \sin^{-\frac{1}{2}}x^2 \cdot \cos x^2 \cdot x \]

导数和函数单调性

好神奇。
给个例子。

\[f(x) = x^2 - 2x + 3 \]

运用初中知识，易知 \(x < 1\) 时单调递减，\(x > 1\) 时单调递增。

我们考虑导数的几何意义：反映了函数图像上一个点的斜率。我们给 \(f(x)\) 求个导看看：

\[f^{'}(x) = 2x - 2 \]

在 \(x > 1\) 时，\(f^{'}(x) > 0\) ，这就代表着 \(f(x)\) 在 \(x>1\) 的时候是单调递增的；同样的，在 \(x < 1\) 时，\(f^{'}(x) < 0\) ，这就代表着 \(f(x)\) 在 \(x < 1\) 的时候是单调递减的；而当 \(x=1\) 的时候 \(f^{'}(x)=0\) ，说明该处斜率为 \(0\) ，是个拐点。

有了这个，我们就可以很快速的判断单调性和拐点等问题了/oh。

还有，当 \(f^{'}(x) > 0\) 时，\(f^{'}(x)\) 越大，函数增得越快；同理，当 \(f^{'}(x) < 0\) 时，\(f^{'}(x)\) 越小，函数降得越快。

极值与最值

极大值与极小值

来个例子

\[f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 4 \]

导一下

\[f^{'}(x) = x^2 - 4 = (x+2)(x-2) \]

这是 \(f(x)\) 的图像

由导数我们可以知道，当 \(x\in(-\infty,-2)\) 时，\(f^{'}(x) > 0\)，函数单调递增；当 \(x\in[-2,2]\) 时，\(f^{'}(x) < 0\)，函数单调递减；当 \(x\in(2,\infty)\) 时，\(f^{'}(x) > 0\)，函数又单调递增。

这里出现了两个极值点：\(-2\) 和 \(2\)。

极值点就是导数为 \(0\) 的点的横坐标。这些点就是所说的拐点，它左边和右边的单调性是相反的。

这里，\(-2\) 是极大值点，\(f(-2)\) 的值比它的邻域的值都要大；\(2\) 是极小值点，\(f(2)\) 的值比它的邻域的值都要小。

同时，\(f(-2)\) 就被称为极大值，\(f(2)\) 就被称为极小值。

最值

\(x\in [a,b]\) 的最值只会出现在两种地方：极值点和端点。因此求导一下，看看是最小值点还是最大值点，再按照题意操作一番就完事了。

洛必达法则

什么都洛只会害了你。

内容

当 \(x \rightarrow t\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 同时趋近于 \(0\),
则

\[\lim_{x \rightarrow t} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow t} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} \]

当 \(x \rightarrow +\infty\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 同时趋近于 \(+\infty\),
则

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} \]

给道例题感觉一下。

对任意 \(x>0\) ，有 \((x+1)\ln(x+1) > ax\) 恒成立，则 \(a\) 的范围是_____

很自然的给它分个参

\[a < \frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} \]

设

\[f(x) = \frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} \]

,那么我们只需要求这个函数的最小值即可。

最小值怎么求？导一下。最小值怎么求？导一下。

\[f^{'}(x) = \frac{x-\ln(x+1)}{x^2} \]

这玩意也很难看单调性啊，怎么办？导一下。怎么办？导一下。

令 \(h(x) = x-\ln(x+1)\)

则 \(h^{'}(x)= 1 - \frac{1}{x+1}\)

当 \(x>0\) 时，\(h^{'}(x)\) 恒 \(>0\)，所以 \(h(x)\) 在 \(x>0\) 上是单调递增的，当 \(x=0\) 时，\(h(x) = 0\)，这就说明了 \(f^{'}(x)\) 在 \(x>0\) 的时候也是恒 \(>0\) 的，这就又说明 \(f(x)\) 在 \(x>0\) 范围内单调递增。那么最小值就在 \(x=0\) 的时候取得。

因此 \(a\leq f(0)\) 即可，但是 \(f(0)\) 的时候这个式子是无解的啊，怎么办？洛一下。怎么办？洛一下。

设 \(m = f(0)\) ，则有

\[m = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} \]

当 \(x=0\) 时，

\[\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} = \frac{0}{0} \]

，说明上下都是趋于 \(0\) 的。

应用洛必达法则，得：

\[m = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} \]

\[= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{[(x+1)\ln(x+1)]^{'}}{x^{'}} \]

\[= \frac{\ln(x+1)+1}{1} \]

这时候 \(x=0\) 就是有意义的了，答案就是 \(1\)，所以 \(a \leq 1\)。

高考大题好像不让用，但是选择填空可以用/cy。但是不知道这玩意在 OI 中有没有用，觉得好玩，故记之。

帕德逼近

这又是什么黑科技，记一波。

\[e^x \approx \frac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12},x\in(-2,2) \]

\[\ln(x+1) \approx \frac{3x^2 + 6x}{x^2+6x+6},x\in(-1,2) \]

往后面差值就比较大了。

麦克劳林公式

本质是泰勒公式在 \(x=0\) 的一种特殊情况。

\[P(x) = f(0) + \frac{df}{dx}(0)\frac{x}{1!}+ \frac{d^2f}{dx^2}(0)\frac{x^2}{2!}+ \frac{d^3f}{dx^3}(0)\frac{x^3}{3!} + \dots \]

本质上就是高阶导数和多项式的一一对应，求一个最近似的多项式函数。

真正的泰勒公式

\[P(x) = f(a) + \frac{df}{dx}(a)\frac{(x-a)^1}{1!}+ \frac{d^2f}{dx^2}(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+ \frac{d^3f}{dx^3}(a)\frac{(x-a)^3}{3!} + \dots \]

取 \(f(x-a)\) 的目的就是做一个近似，应该就是发生了一个位移用 \(f(x-a)\) 来近似。

黑科技。
当 \(x \rightarrow 0\) 时，一般就是 \(|x| \leq 0.1\) ，则有

\[e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \]

这个就好理解了，美丽的 \(e^x\) 几阶导都是它自己，因此当 \(x\rightarrow 0\) 时，套入公式，十分美丽。

\[\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \]

\[\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} \]

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \dots \]

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} \dots \]

级数：以 \(\cos x\) 为例，如果我们让上式推广到无限项，这无限多项的和，就叫做级数(series)。

收敛和发散：如果一个级数加的越多，它的和越接近某个确定的数值的话，，我们就可以说这个级数收敛到那个值，也就是说这个级数就等于它收敛到的值；反之，如果加的越多，级数不接近任何值，就称这个级数时发散的。

收敛半径：把在用来近似那个点（比如在 \(x=1\) 的时候用一个多项式近似 \(\ln 1\)）周围，能够让多项式收敛的最大取值范围，就叫做这个级数的收敛半径。

拉格朗日定理

感觉是求导比斜率，把割线问题转化成切线，也就是导数问题。

两点之间的平均斜率就是两点之间的斜率。

具体可以看这个视频。
又一个黑科技。

定积分

微分是割线的斜率，导数是切线的斜率，当\(\Delta x \rightarrow 0\) 时，它们就是相等的。

导数：是指函数在某一点处变化率的最佳近似。

微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量

定义

\(f(x)\) 定义在 \([a,b]\) ，任分 \([a,b]\) 为小区间点，分点 \(a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\) ，这称为 \([a,b]\) 的一个分割。

若 \(\exists \ I \in \mathbb{R}\) ，对 \([a,b]\) 的所有分割都有

\[\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i = I (\xi_i\in[x_{i-1},x_i],\lambda \in \max\{\Delta x_i\}) \]

则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积。

\(I\) 称为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 的定积分，记作

\[I = \int_a^b f(x)dx \]

可积的条件

两种情况都可

• （1）：连续必可积

• （2）：有界且存在有限个第一类间断点

微积分基本定理

神。

\[g(x) = \int_a^x f(t)dt , \text{且} g^{'} = f \]

这个说明的是导数和积分其实是互逆的。

积分后再求导得到的是原函数。

求导后再积分得到的是全体原函数（有常数）。

\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \]

下面这个就是牛顿-莱布尼茨公式。其中 \(F(x)\) 表示的是 \(f(x)\) 的原函数，\(F(x)\) 的导数是 \(f(x)\)。

举个例子 \(f(x) = x^2\) ，那么 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + d\) ，但是 \(F(b) - F(a)\) 后 常数项就消没了。

自适应辛普森积分

花了两天学你的前置知识。

首先看 3b1b 的视频我们能得出一个小公式。

\(\text{一段函数的平均高度} = \frac{\text{面积}}{\text{宽度}}\)

其中的面积就用积分求。

辛普森公式

用来解决二次函数的定积分。

对二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 在区间 \([l,r]\) 上求定积分，而一阶定积分的几何意义就是图像与 \(x\) 轴围成的面积。

求 \(f(x)\) 的原函数：

\[F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + d \]

运用牛顿-莱布尼茨公式：

\[\int_l^r f(x)dx = \frac{a}{3}(r^3-l^3) \frac{b}{2}(r^2-l^2) + c(r-l) \]

\[= (r-l)[\frac{a}{3}(r^2+l^2+lr) + \frac{b}{2}(r+l) + c] \]

\[= \frac{(r-l)(2al^2+2ar^2+2alr+3bl+3br+6c)}{6} \]

\[=\frac{r-l}{6}[(al^2+bl+c)+(ar^2+br+c)+4(a(\frac{l+r}{2})^2+b(\frac{l+r}{2})+c)] \]

\[= \frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2}))}{6} \]

这就是区间宽度 \(\times\) 平均高度。

自适应辛普森积分法

它的原理是把可积函数分成很多段，每段就可以用二次函数来拟合，也就是把这一段用二次函数来拟合（感觉跟泰勒展开很相似，不过泰勒展开是多项式），套用辛普森公式进行近似计算。

不过这个误差可能会比较大，what should we do？二分。每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似就直接代辛普森公式计算即可，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

如何判断当前段和二次函数是否相似？把整段带入公式求一下积分，再将当前段分成左右两端分别代入公式求一下积分。如果当前段的积分和分割后两端的积分相差很小，就可以认为当前段和二次函数是相似的，不用递归分割了。

代码也很简单。

const double eps = ; 

double a,b,c,d,l,r;

il double f(double x) { ... }//题目中给出的函数

il double Simpson(double l,double r) { return (r-l)*(f(l)+f(r)+4*(f((l+r)/2)))/6; }//辛普森公式

il double Adaptive_Simpson(double l,double r,double ans)//分治思想
{
	double m = (l+r) / 2.0 , a = Simpson(l,m) , b = Simpson(m,r);
	if(fabs(a+b-ans) < eps) return ans;
	else return Adaptive_Simpson(l,m,a) + Adaptive_Simpson(m,r,b);
}

signed main()
{
	scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&l,&r);
	printf("%.6lf",Adaptive_Simpson(l,r,Simpson(l,r)));
	return 0;
}

为了精确，我们要将 eps 设小一点，往往是 eps = 1e-10。

由此可以看出，这个算法的复杂度是 \(O(\log \frac{n}{\text{eps}})\) ，其中 \(n\) 代表的是积分的上限\(-\)下限，也就是 \(r-l\)。