动态规划 - 石子合并问题

（1）问题描述

　　在一个圆形操场的四周摆放着 num 堆石子。先要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的 2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的耗费力气。试设计一个算法，计算将 n 堆石子合并成一堆的最省力气数。

（2）算法思想

　　对于给定的 n 堆石子，当只有一堆时，不用搬，进而不耗费力气，然后依次计算出从 2 堆 ~ num 堆石子的最优解，并且堆数递增求最优解，依赖于上一步的解进行计算所得；

（3）算法思路

　　此解法和矩阵连乘类似，我们知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

　　设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的所耗费的力气总数。动规方程如下： 
　　

（4）代码展示

public class StoneMerge {

    /**
     * 记录石子堆的数量
     */
    private static int num;

    /**
     * 记录每堆石子的重量
     */
    private static int[] weight;

    /**
     * 记录石子堆断开的位置【便于计算局部最优解】
     */
    private static int[][] location;

    /**
     * 记录石子堆局部最优解，以至于求得最终最优解【动规方程】
     */
    private static int[][] dp;

    /**
     * 初始化数据
     */
    private static void initData() {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入石子堆数量:");
        num = input.nextInt();

        weight = new int[num];
        System.out.println("请输入每堆石子的重量:");
        for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
            weight[i] = input.nextInt();
        }

        // 定义成 int 类型的二维数组，创建完每个元素直接初始化为 0 
        dp = new int[num][num];
        location = new int[num][num];
    }

    /**
     * 计算最省最费力气值
     */
    private static void dpFindMinStrength() {
        // 初始化 dp 数组
        for (int m = 0; m < num; m++) {
            dp[m][m] = 0;                                           // 一堆石子，不用搬，耗费力气为 0
        }

        for (int r = 2; r <= num; r++) {                            // 从 2 堆依次到 num 堆，分别计算最优值
            for (int i = 0; i < num - r + 1; i++) {                 // 起始石子堆取值范围
                int j = i + r - 1;                                  // 根据每次选取石子堆 r 和起始石子堆 i ，计算终止石子堆
                int sum = 0;
                for (int x = i; x <= j; x++) {                      // 计算从石子堆 i 到 石子堆 j 合并时，最后两堆使用的力气总和 sum
                    sum += weight[x];
                }
                // 根据动规方程，从局部最优解中计算当前从石子堆 i 到石子堆 j 合并所使用的的力气总和
                dp[i][j] = dp[i + 1][j] + sum;                      // 计算从 i 石子堆分开时，使用的力气总和
                location[i][j] = i;                                 // 标记从第 i 石子堆分开位置

                for (int k = i + 1; k < j; k++) {                   // 需要统计从 k 【k ∈ (i, j)】石子堆分开，使用的力气总和
                    int temp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum;       // 计算从 k 石子堆分开时，使用的力气总和
                    if (temp < dp[i][j]) {
                        dp[i][j] = temp;
                        location[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 输出
     */
    private static void print() {
        System.out.println("动规数组【不同堆数合并石子所费力气】:");
        for (int i = 0; i < num; i++) {
            for (int j = 0; j < num; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("不同堆数合并石子最省力气断开位置最优解:");
        for (int i = 0; i < num; i++) {
            for (int j = 0; j < num; j++) {
                System.out.print(location[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        // 初始化数据
        initData();

        // 计算最省最费力气值
        dpFindMinStrength();

        // 输出
        print();
    }

}

（5）输入输出

请输入石子堆数量:
4 
请输入每堆石子的重量:
4 4 5 9
动规数组【不同堆数合并石子所费力气】:
0 8 21 43 
0 0 9 27 
0 0 0 14 
0 0 0 0 
不同堆数合并石子最省力气分开位置最优解【下标从数组 0 开始分开】:
0 0 1 2 
0 0 1 2 
0 0 0 2 
0 0 0 0 

（6）总结　　

　　石子合并问题完全提现了动态规划的核心思想，先求解子问题的解【子问题求解不相互独立，相互依赖】，然后从这些子问题的解中得到原问题的解，进而得到该问题的最优解。