同余，欧拉函数，逆元

$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ 可以推出 n | a - b

由$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ 和 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 可以推出 ：$a\equiv b(\mathrm{mod}[a,b])$

$(k,m)=d,ka\equiv k{a}^{‘}(\mathrm{mod}m)$ 可以推出$a\equiv a^{‘}(\mathrm{mod}m/d)$

简化剩余系：

所有的n满足$0<n\le m,(n,m)=1$构成一个模m的简化剩余系，记这样的n的个数为$\varphi (m)$

$$\varphi (m)=m\prod _{p|m}1-\frac{1}{p}$$

欧拉定理：$(a,m)=1,a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

费马小定理：$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 已经被欧拉定理覆盖

逆元：存在$(a,m)=1,ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 则称$x$是$a$的逆元

求逆元的过程：

$$\begin{gathered} a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p) \\ a\ast a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p) \\ {a}^{p-2}\equiv a^{-1}(\mathrm{mod}p) \end{gathered}$$

即求a逆元就是求$a$的逆元就是求$a^{p-2}$ （快速幂）

求1到n的逆元 ： $inv[i]=(p-p/i)\ast inv[pmodi]modp$