手算开平方

一. 如何手算开平方

举个例子，比如说根号 $114514$，是这么手算开平方的：

这其中有几个重点值得我们注意。

• 我们发现，数字 $114514$ 被分成了两个数字为一段的很多小段，每一小段上面有一个得出的数值。这个过程类似除法得出商的过程。

• 请看到每个式子中根号左边的数值，我们暂且叫他“被开数”。被开数是怎么得出来的呢？我们先看第一个被开数 $3$, $3\ast 3=9$ 是最大的小于第一段小区间 $11$ 的完全平方数。 这个时候，我们在小区间 $11$ 的上方写上 $3$ 。 我们再来看第二个被开数 $63$ ，其实63这个被开数最开始只有 $6$ , $3$ 是我们后添上的。这个 $6$ 就是最上面的“商”乘 $2$ 得出的结果。为什么我们要填上 $3$ 呢，我们发现$63\ast 3=189$ 是最大的小于 $245$ 的数字（按照这个规律来的数字中）。这个 $245$ 就是$11-9=2$ 和 小段 $45$ 落下来的结果，和除法竖式类似，请看图自行脑补。

• 我们再次巩固一下。譬如说第三个“被开数”是 $668$，其实最开始只有 $66$ , $8$ 是我们后添上的。$66$ 就是上面的商 $33$ 乘 $2$ 得到的结果。而$668\ast 8=5344$是最大的小于5614的数字（按照这个规律来的数字中）。而 $5614$ 就是 $245-189=56$ 和 $14$ 落下来后的结果。和除法竖式类似，看图自行脑补。

-如果我们想更加精确地算出带有小数点的开方结果。我们只需要在 $114514$ 后面加一个小数点，然后写一堆 $0$ ，还是两两分组照着整数部分的来就行，请看图自行理解。

WARNING：以下的部分会涉及烧脑，对大脑的损伤不亚于核辐射，请斟酌后观看。本人对各位的大脑 $IQ$ 损失不承担任何责任。

我们再补充一下。大家想想，$114514$ 这个数字非常美妙，可以分成两两一组而没有任何的多余。

但是，$108$ 这个数字就不那么幸运了,我们不论怎么两个两个分，都会有一个数字剩下。这个时候，我们这样分就行了： $[1][0,8]$。

阅读下面的内容时请确保这一章已经读懂，这条规定生效于每一章。

二. 为什么这样手算开平方？

我们会有疑问的点有以下几点：

1. 为什么要分成两个数字这样两两一段？
2. 为什么被开数的计算这么奇怪？

对于这两个核心的问题，我们可以这样解决：

我们需要明确的是，这种竖式的手算开平方其实就是一种代数算法的直观性表达。我们完全可以用代数式来解释和运用手算开平方的这种思想。

问题1：为什么一个数字要分成两两一段？

1位数        2位数        3位数        4位数

0~9         10~99       100~999      1000~9999 （原数）

1~2位        3~4位        5~6位       7~8位     （平方后）

比如说，一个2位数 $60$，开平方之后的 $3600$ 就是一个 $4$ 位数。
或是一个两位数 $30$，开平方之后的 $900$ 就是一个 $3$ 位数。

我们之所以两个两个分成一段，是因为一个位数开平方后对应两个位数，见上表。

我们现在思考一个问题。对于有奇数个数位的数字，比如说 $108$，我们为什么会把它分成 $[1][0,8]$ 而不把他分成 $[1,0][8]$ 呢？按理说这样的分发不应该没有区别吗？

其实，$108$ 这个数字可以理解为 $108.0000000...$ 我们的手算开平方就可以按照这样的顺序不停地进行下去。我们想象，如果我们把它分成了$[1,0][8]$ 的话，就会出现这种情况。

$10|8.0|00|00...$ 我们在这个时候，会发现小数点不明确，这样的小数点不明确显然会出现大问题，故：有奇数数位的数字，第一个分区只有一个数字。

问题2：为什么被开数的计算这么奇怪？

我们主要研究的问题是，为什么被开数要乘上20再加上一个数，再乘上加上的这个数字。

数学代数证明：

比方说我们要开方 $1145$，分区：$[1,1][4,5]$

$1145=(30+x{)}^2$

$1145=x^2+60x+900$

$245=x^2+60x$

$245=x(x+60)$

我们知道 $x(x+60)$ 就差不多是我们的被开数了。$60$ 就是 $3\ast 20$ 的结果。

证明完毕。

我们还可以加深一步，证明 $1145$ 的第三个被开数。

$1145=(x+33{)}^2$

$1145=x^2+66x+1089$

$56=x^2+66x$

$56=x(x+66)$

完事！

三. 如何手算开立方

大概长这样，主要讲原理

设 $N$ 为被开立方的数字。

$N=(10x+y{)}^3$

$N=1000x^3+300x^{2}y+30x{y}^2+y^3$

$N=1000x^3+y(y^2+300x^2+30xy)$

$N=1000x^3+y(y^2+30x(10x+y))$

我们整理成这样，差不多就可以运用到竖式中去了
$48$
$4\sqrt{114514}$
$64$
$5296\sqrt{50514}$
$42368$

我们发现，平方根的乘上20变成了 $(x^2+4800+120y)$ ，这样的规律显然很难了

四. 如何手算开五次方