恢复训练（学不动了摸会鱼） Pt. 1

本来下午想把pre稿子写了，咕咕咕。

群论是啥也不会了，写个polya试试（手动doge）为什么博客媛没有emoji，以后万一自己搭博客一定要加上这个小东西

polya淼题：poj1286

先复吸一下polya

本来有这么个burnside引理，为什么叫引理呢，因为polya的证明引用了这个小可爱。

正经人谁好好写公式，（其实是不会群论的正规表达方式）

比如说从前有这么个置换群$F = \{ f_i , i \in Z and 1\le i \le n_F \} $ 其中 $n_F = \| F \|$ 集合元素总数。$f_i$表示一种置换（一个n的全排列）。

注意应用有限次任意$f_i$的迭代并不会得到不属于$F$的置换

我们要给一个长为n的序列染色。若我们想得到在置换群$F$下本质不同的染色结果（染色结果A与B本质相同，当且仅当对A有限次应用$F$中的任意置换后可以得到B）

那么$Burnside$引理告诉我们这种染色数是

$\frac{1}{\| F \|}\sum_{i}^{n_F}{Count(f_i)}$

其中$Count(\cdot)$表示在应用一次某种置换后颜色序列不变的染色种类数，即在$f_i$置换下恒不变的颜色序列（不动点状态）

具体的例子可以看看百度百科的那个方块染色，我觉得不错。

Polya定理是burnside的具体化，也就是说只在某种情况下burnside的应用。

这种情况就是序列每个位置都可以染任意m种颜色中的一个。

此时$Count(\cdot)$可以被重写。

若一个置换群$f_i$是由$k_i$个子置换组成的，一个子置换中元素永远也无法到达另一个子置换中的位置。

此时$Count(f_i) = m^{k_i}$

$P\acute{o}lya  定理:  \frac{\sum{m^{k_i}}}{\| F \|}$

好了长度水差不多了，简单说一下解题思路哈

显然可以用Polya 做嘛 （doge）

置换就暴力拿出来一个一个看。一共2n个置换，n个转动项链的置换 {2,3,4, ... ,n, 1}, {3, 4, 5, ..., n, 1, 2}, ..., {n, 1, 2, ..., n-1}

还有n个在项链背面转的: {n, n-1, ... , 3, 2, 1}, {n-1, n-2, ..., 2, 1, n}, ...

记一下数就好了

后来发现好像不用把子置换记一遍数，奇数环1个子置换，偶数环有时有两个子置换，反环置换数也可以统计

不管了反正A了

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
int a[100];
int vis[50];
lnt sPow(lnt aa, int b){
    lnt ans = 1;
    while(b){
        if(b % 2) ans *= aa;
        aa *= aa;
        b /= 2;
    }
    return ans;
}
void dfs(int now){
    if(vis[now]) return ;
    vis[now] = 1;
    dfs(a[now]);
    return ;
}
lnt count(int n){
    int ans = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i=1; i<=n; ++i) if(! vis[i]){
        ++ans;
        dfs(i);
    }
    return sPow(3ll, ans);
}
lnt polya(int n){
    if(!n){
        return 0;
    }
    lnt sum = 0;
    for(int delta=0; delta<n; ++delta){
        for(int i=0; i<n; ++i){
            a[(i+delta)%n + 1] = i+1;
        }
        sum += count(n);
        for(int i=0; i<n/2; ++i) std::swap(a[i+1], a[n-i]);
        sum += count(n);
    }
    return sum / (2ll*n);
}
int main(){
    int n;
    while(true){
        scanf("%d", &n);
        if(n == -1) return 0;
        printf("%lld\n", polya(n));
    }
    return 0;
}

再弄点计算几何(doge)

随处找找

发现lgl巨佬这里有不少题诶

（我好像一个也不会诶...）%%% lgl

算了先打开一个看看

先来这个poj3525

17.00 了，还不会。·咕咕咕

肝pre去了（doge）