BZOJ3675: [Apio2014]序列分割(斜率优化Dp)

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

解题思路：

这道题最重要的一点是发现最后答案是每个联通块元素和与剩余部分乘积的累和，所以和分割的顺序就无关了。

剩下的就是枚举每一位分割位置，这里相当于枚举下一刀切在哪里比较合适。

共K次，每层记录状态，发现可以斜率优化。

所以斜率优化一下就好了。

注意可以滚动数组。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
const int N=100010;
int a[N];
lnt s[N];
lnt dp[2][N];
int n,k;
int q[N];
int h,t;
int cp,cq;
double Xx(int x)
{
    return s[x];
}
double Yy(int x)
{
    return s[x]*s[x]-dp[cp][x];
}
double Kk(int x,int y)
{
    return (Yy(y)-Yy(x))/(Xx(y)-Xx(x));
}
int main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin);
    int nn;
    scanf("%d%d",&nn,&k);
    for(int i=1;i<=nn;i++)
    {
        n++;
        scanf("%d",&a[n]);
        if(a[n]==0)
            n--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-1]+a[i];
/*    if(n<=k+1)
    {
        lnt ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=s[i]*(s[n]-s[i]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }*/
    cp=1,cq=0;
    for(int K=1;K<=k;K++)
    {
        cp^=cq^=cp^=cq;
        h=1,t=1;
        q[1]=K-1;
        for(int i=K;i<=n;i++)
        {
            while(h<t&&s[i]>Kk(q[h],q[h+1]))
                h++;
            int j=q[h];
            dp[cq][i]=dp[cp][j]+s[j]*(s[i]-s[j]);
            while(h<t&&Kk(q[t-1],q[t])>Kk(q[t],i))
                t--;
            q[++t]=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[cq][n]);
    return 0;
}