BZOJ1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演)

Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a
，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

解题思路：

${\sum_{i=1}^{n}}{\sum_{j=1}^{m}}gcd(i,j)==d$

$={\sum_{d|i}^{n}}{\sum_{d|j}^{m}}\varepsilon(gcd(\frac{i}{d},\frac{j}{d}))$

设${M={\left \lfloor {\frac{m}{d}} \right \rfloor}},{N={\left \lfloor {\frac{n}{d}} \right \rfloor}}$

$原式={\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}\varepsilon(gcd(i,j))$

$={\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}{\sum_{d|gcd(i,j)}}{\mu (d)}$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\sum_{d|i}^{N}}{\sum_{d|j}^{M}}{\mu(d)}$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{d|i}^{N}}1{\sum_{d|j}^{M}}1$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\frac{N}{d}} \right \rfloor}}1{\sum_{j=1}^{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}}1$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\left\lfloor{\frac{N}{d}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}$

最后整除分块预处理$\mu$的前缀和搞一下就好了

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int N=50010;
int prime[N];
int miu[N];
int s[N];
bool vis[N];
int cnt;
int T;
int a,b,d;
void gtp(void)
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++)
        {
            vis[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            miu[prime[j]*i]=-miu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)
        s[i]=s[i-1]+miu[i];
    return ;
}
int main()
{
    gtp();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a=a/d;
        b=b/d;
        int c=std::min(a,b);
        int ans=0;
        for(int k=1,u;k<=c;k=u+1)
        {
            u=std::min(a/(a/k),b/(b/k));
            ans+=(s[u]-s[k-1])*(a/k)*(b/k);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}