莫比乌斯反演
这里还是口胡,dalao和萌新请绕道。
总体来说,就是$\sum$来回导的问题。
主要需要注意一点,那就是在交换$\sum$时对于任意一个元素,枚举次数不能改变。
最重要的式子:
${\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}\varepsilon(gcd(i,j))$
$={\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}{\sum_{d|gcd(i,j)}}{\mu (d)}$
$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\sum_{d|i}^{N}}{\sum_{d|j}^{M}}{\mu(d)}$
$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{d|i}^{N}}1{\sum_{d|j}^{M}}1$
$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\frac{N}{d}} \right \rfloor}}1{\sum_{j=1}^{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}}1$
$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\left\lfloor{\frac{N}{d}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}$
第二个就是整除分块
${\sum_{i=1}^{N}{\left\lfloor{\frac{N}{i}}\right\rfloor}}$一共有$\sqrt{N}$种取值
其中每个取值的结尾为$\left \lfloor {\frac{N}{\left \lfloor {\frac{N}{i}} \right \rfloor}} \right \rfloor$
可以配其他数论函数前缀和使用。