【计算机组成】数据表示

基本概念

在学习原码，反码、补码和移码之前，需要先了解机器数和真值的概念。

• 机器数：一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
  比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
  那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

• 真值：因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例如：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

• 真值：+0101，-0100；
• 机器数：\([x]_原\)=0101

机器数

关于原码、反码和补码的详解，请看：原码、反码、补码的使用及其原理

• 原码：x = -0101，\([x]_原\) = 1101
• 反码：x = -0101，\([x]_反\) = 1010
• 补码：x = -0101，\([x]_补\) = 1011
• 移码：x = -0101，\([x]_移\) = \(2^n\) + x = 0011

理解：
补码是为了化减法为加法方便计算机设计运算；
移码是为了方便比较大小，用在浮点数的阶码中。

• 补码——任何一个有模的系统中，减法都可以通过加其补码来表示。最简单的例子就是以 12 为模的钟表，比如现在是 3 点，那么-5个小时就等于 +7 个小时，都是 10 点。这里 7 就是 5 的补码。
• 移码——数据对应关系一次挪动一下位置，使得看起来小的数真值也小。比如原本 0000 表示 0，现在表示 -128，然后 0001 表示 -127，一直到 1111 表示 +127，这样就方便比较了。

定点数与浮点数

关于浮点数的详解，请看：浮点数在计算机中的表示与转二进制

• 定点数：小数点固定 x.xxxxxx，表示范围受限，忘掉它吧
• 浮点数：数的范围和精度分别表示。
  • 一般格式：EEEE......EMMM.......M，E 部分是阶码（数的范围 i），M 部分是尾数（数的精度）。
    缺点：阶码和尾数位数不固定，太灵活了
  • IEEE754 格式：跟我背下来----
    32 位的是（单精度）：1位符号位S + 8位偏指数E + 23位有效尾数M，偏移值为 127。
    64 位的是（双精度）：1位符号位S + 11位偏指数E + 52位有效尾数M，偏移值为 1023。
    真值就是（32位为例） \(N = (-1)^S * 2^{(E-127)} * 1.M\)

浮点数的特殊情况：

• E = 0, M = 0：机器零
• E = 255, M = 0：无穷大，对应于 x/0
• E = 255, M != 0：非数值 NaN，对应 0/0

数据校验

基本原理：增加冗余码

• 码距：合法编码之间不同二进制位数的最小值
• 码距与检错、纠错能力：
  • 码距 d >= e+1：检查 e 个错误
  • 码距 d >= 2t+1：纠正 t 个错误
  • 码距 d >= e+t+1：同时检查 e 个错误，并纠正 t 个错误。（e >= t）

理解：增加码距就是增加非法编码的数量，看到非法编码就算检查出错误了，而非法编码距离哪个合法编码比较进就认为正确的应该是什么（简单理解，可参考下面的图），也就是可以纠正错误。

这里看到过一个好的几何理解图，仔细品味下：

举个例子：比如一共有 8 位，码距为 1 则检查不出任何错误，因为所有编码都是合法编码。如果码距为 2，那合法编码应该像 00000000, 00000011, 00001100, 00001111 这样，那如果出现 00000001 这样的非法编码就出错了，可检查一位错，但如果两位同时错了，则有可能又跳到另一个合法编码上了，就检查不出 2 位错。

那如果码距是 3，那合法编码应该像 00000000, 00000111, 00111000, 00111111 这样，那如果出现一位错 00000001，或者两位错 00000011，都是非法编码，都能检查出错误，并且此时可以纠正 00000001 为 00000000，纠正 00000011 为 00000111。但是三位同时错就检查不出了。

• 常见校验策略：奇偶校验、CRC校验、海明校验

ps：海明编码最强视频演示教程：https://www.youtube.com/watch?v=373FUw-2U2k