【数学】数学归纳法

第一数学归纳法

第一数学归纳法可以概括为以下三步：

• 原问题：n时命题成立
• (1)归纳奠基（最小问题）：证明n=1时命题成立；
• (2)归纳假设（子类问题）：假设n=k时命题成立；
• (3)归纳递推（解决当前问题）：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。
• 从而就可断定命题对于从所有正整数都成立。

第二数学归纳法（完整归纳法）

第二数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：

• (1)归纳奠基：当n=1,2时，命题成立；
• (2)归纳假设：假设当n≤k（k∈N）时，命题成立；
• (3)归纳递推：由此可推得当n=k+1时，命题也成立。
• 那么根据①②可得，命题对于一切正整数n来说都成立。

例子

单调有界准则，数列递推，一定要递推关系，不是递推用不了

设a1=1,\(a_{n+1}+√(1-an)=0\)，证明{an}收敛，并求\(lim_{n→∞}a_n\).

• 若存在极限，设为A，则A+√(1-A)=0，A=(-1-√5)/2
  a1=1,a2=0,a3=-1，所以猜想{an}单调递减，有下界
• 下面用第二数学归纳法证明{an}单调递减：（一般用于单调性）
  • n=1,n=2时，a1=1，a2=0，a1>a2
  • 假设n≤k时，\(a_{k-1}>a_{k}\)成立
  • 当n=k+1时，\(a_{k+1}=-√(1-a_k)<-√(1-a_{k-1})=a_k成立\)
  • 所以{an}单调递减
• 下面用第一数学归纳法证明{an}有下界：（一般用于上下界）
  • n=1,a1=1>(-1-√5)/2成立
  • 假设n=k时，ak>(-1-√5)/2成立
  • 当n=k+1时，\(a_{k+1}=-√(1-a_k)\)>(-1-√5)/2
    1-ak<(3+√5)/2=(1+2√5+5)/4
    √(1-ak)<(1+√5)/2