中国剩余定理（新）

定理内容

中国剩余定理（孙子定理），这是用来解出一堆线性同余方程组同一解的定理，通常会给出一对同余方程。如下，其中任意两个 $mi$ 互质，求解 $x$

$$\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x& \equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ x& \equiv a_3(\mathrm{mod}{m}_3)\\ & \dots \\ x& \equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

在定理中设有几个变量 $M,M_i,t_i$，对于他们有关系

$$\begin{array}{rl}& M=m_1\times m_2\times m_3\times \cdots \times m_n\\ & M_i=M÷m_i\\ \\ & M_i\times t_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)\end{array}$$

可以看出，其中 $t_i$ 是 $M_i$ 关于 $m_i$ 的逆元。而 $x$ 有

$$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\times M_i\times t_i$$

证明

由上面我们可以知道，中国剩余定理是通过构造来得到一组解, 因此只需要证明可行性即可。

你可以尝试带入进去。比如这里带入第一个式子 $x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)$。因为 $x$ 中除了第 $1$ 项, 其他所有的 $a_i\times M_i\times t_i$ 中的 $M_i$ 里面都有 $m_1$ 这个因子，那么其他项就可以被取模 $m_1$ 给完美消掉，只剩下第一项 $a_1\times M_1\times t_1$。

又因为 $M_i\times t_i\equiv 1(\mathrm{mod}m{)}_i$， 那么M1 * t1 在取模 $m_1$ 下就为 $1$ ，那么就只剩下 $a_1$，符合等式 $1$，对于其他的等式同理, 这就说明，这是一个正确解。

关于 $t_i$ 一定有解。
因为

$$\begin{array}{rl}& M_i\times t_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)\\ & Mi=M÷m_i\\ & gcd(m_i,m_j)=1,i\ne j\end{array}$$

通过裴蜀定理可得式子

$$M_i\times x+m_i\times y=1$$

而 $M_i\times t_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$，可以化成等式 $M_i\times t_i+m_i\times y=1$
那么 $M_i\times x+m_i\times y=1$ 中的 $x$ 就是 $t_i$。$M_i\times x+m_i\times y=1$ 存在，等式$M_i\times t_i+m_i\times y=1$ 就一定存在，$x$ 一定有解，即 $t_i$ 一定有解，那么 $t_i$ 就一定可以通过 exgcd 求出。

值得一提的是 $M$ 是所有 $m_i$ 的乘积，那么通解应该也就知道了，即 $x=x_0+k\times M$
我 $x$ 加上 $k$ 个 $M$ 不影响每个 $m_i$ 取余，它还是 $a_i$，也就都是合法解。（这里有多组解的原因也是, 有 $n$ 个式子但能找出来 $n+1$ 个未知数（把同余方程列乘等式），因此有无数解）

所以最小正整数解就是用代码就是 (x % M + M) % M