exgcd 通解（新）
可能不全，老文章在这
什么是通解，我们知道二元一次方程，是如果只有一个式子，那么解会有无数个，而通解就是指让我们只找到一个解就可以推出其他所有解的式子。
注意以下变量都为整数。
知道了定义下面就是推式子了，首先设 \(x, y\) 是 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一个解，那么有
\[y = \left[\gcd(a, b) - ax \right] \div b \tag 1
\]
再设一个解 \(x_0,y_0\)
\[x_0 = x + k \tag 2
\]
那么有
\[ax_0 + by_0 = \gcd(a, b)
\]
所以
\[y_0 = [\gcd(a, b) - ax_0] \div b \tag{3}
\]
由 \((3)\) 和 \((2)\) 得
\[y_0 = \left[\gcd(a, b) - ax - ak \right] \div b = [\gcd(a, b) - ax] \div b - \frac{a}{b} \times k \tag4
\]
由 \((4)\) 和 \((1)\) 得
\[y_0 = y - \frac{a}{b} \times k \tag 5
\]
我们要保证 \(y_0\) 是整数，且 \(y\) 又是整数, 那么 \(\frac{a}{b} \times k\) 就是整数，设 \(d = \gcd(a, b)\)
\(a = a' \times d, b = b' \times d\)，这里 \(a', b'\) 互质（如果他们不互质，\(d\) 就可以通过 \(a', b'\) 的公约数变大, 这就和我们d是最大公约数就矛盾了, 所以a'和b'互质）
此时有
\[\frac{a}{b} \times k = \frac{a'} {b'} \times k
\]
因为 \(a'\) 和 \(b'\) 互质，那么 \(\frac{a'}{b'} \times k\) 要是想是整数的话，\(k\) 只能是 \(b'\) 的倍数（\(k =0\) 时整个就是
\(0\) 也是整数,，依旧满足要求）不然就消不掉 \(\frac{a'}{b'}\)的分母 \(b'\) ，就会产生小数, 就不是整数了，因此
\[k = n \times b', n \in \mathbb{Z}
\]
又因为
\[b' * d = b
\]
所以
\[b' = b \div d
\]
所以
\[k = \frac{nb}{d}
\]
所以
\[x_0 = x + n*b/d \tag6
\]
通过 \((5)\) 和 \((6)\) 可得
\[y_0 = y - \frac {na}{d} \tag7
\]
至此通解就出来了
\[\begin{aligned}
x_0 &= x + \frac{b}{d} \times n \\
y_0 &= y - \frac{a}{d} \times n
\end{aligned}
\]
更常见的是这样的
\[\begin{aligned}
x_0 &= x + k\times \frac{b}{d},k\in \mathbb{Z} \\
y_0 &= y - k \times \frac{a}{d}
\end{aligned}
\]
附带最小正整数解就是
\[\begin{aligned}
x & \bmod \frac{b}{d}\\
y & \bmod \frac{a}{d}
\end{aligned}
\]
对于代码中，因为 C++ 强大的取负模的特性，所以更准确代码形式的应该是
(x % (b/d) + b/d) % (b/d)
就相当于把所有的 \(\frac{kb}{d}\) 给删掉, 剩下的就是最小的正整数解。
