exgcd 通解（新）

可能不全，老文章在这
什么是通解，我们知道二元一次方程，是如果只有一个式子，那么解会有无数个，而通解就是指让我们只找到一个解就可以推出其他所有解的式子。
注意以下变量都为整数。

知道了定义下面就是推式子了，首先设 $x,y$ 是 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一个解，那么有

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y=[gcd(a,b)-ax]÷b\end{array}$$

再设一个解 $x_0,y_0$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x_0=x+k\end{array}$$

那么有

$$a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)$$

所以

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y_0=[gcd(a,b)-a{x}_0]÷b\end{array}$$

由 $(3)$ 和 $(2)$ 得

$$\begin{array}{}\text{(4)}& y_0=[gcd(a,b)-ax-ak]÷b=[gcd(a,b)-ax]÷b-\frac{a}{b}\times k\end{array}$$

由 $(4)$ 和 $(1)$ 得

$$\begin{array}{}\text{(5)}& y_0=y-\frac{a}{b}\times k\end{array}$$

我们要保证 $y_0$ 是整数，且 $y$ 又是整数, 那么 $\frac{a}{b}\times k$ 就是整数，设 $d=gcd(a,b)$
$a=a^{\prime }\times d,b=b^{\prime }\times d$，这里 $a^{\prime },b^{\prime }$ 互质（如果他们不互质，$d$ 就可以通过 $a^{\prime },b^{\prime }$ 的公约数变大, 这就和我们d是最大公约数就矛盾了, 所以a'和b'互质）
此时有

$$\frac{a}{b}\times k=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}\times k$$

因为 $a^{\prime }$ 和 $b^{\prime }$ 互质，那么 $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}\times k$ 要是想是整数的话，$k$ 只能是 $b^{\prime }$ 的倍数（$k=0$ 时整个就是
$0$ 也是整数,，依旧满足要求）不然就消不掉 $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$的分母 $b^{\prime }$ ，就会产生小数, 就不是整数了，因此

$$k=n\times b^{\prime },n\in \mathbb{Z}$$

又因为

$$b^{\prime }\ast d=b$$

所以

$$b^{\prime }=b÷d$$

所以

$$k=\frac{nb}{d}$$

所以

$$\begin{array}{}\text{(6)}& x_0=x+n\ast b/d\end{array}$$

通过 $(5)$ 和 $(6)$ 可得

$$\begin{array}{}\text{(7)}& y_0=y-\frac{na}{d}\end{array}$$

至此通解就出来了

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =x+\frac{b}{d}\times n\\ y_0& =y-\frac{a}{d}\times n\end{array}$$

更常见的是这样的

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =x+k\times \frac{b}{d},k\in \mathbb{Z}\\ y_0& =y-k\times \frac{a}{d}\end{array}$$

附带最小正整数解就是

$$\begin{array}{rl}x& mod\frac{b}{d}\\ y& mod\frac{a}{d}\end{array}$$

对于代码中，因为 C++ 强大的取负模的特性，所以更准确代码形式的应该是

(x % (b/d) + b/d) % (b/d)

就相当于把所有的 $\frac{kb}{d}$ 给删掉, 剩下的就是最小的正整数解。