扩展欧几里得（新）

重新整理一下扩欧。
扩展欧几里得就是欧几里得算法也就是辗转相除法的扩展应用，扩展后的作用主要为求二元一次方程组的一个解。

基本原理

众所周知，一个式子是无法确定两个未知数的唯一值的，因此 exgcd 只能解出一种符合要求的解，但是因为有通解的存在，你可以由这个解推出其他所有的可能解。

先看看扩展的地方，欧几里得的原理是 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$，设 $gcd(a,b)=d$ 我们可以到一个式子 $ax+by=d$（来自裴蜀定理），根据辗转相除法的原理，我们会不断将 $a,b$ 辗转相除，直到一个数为 $0$（设这个数为 $b^{\prime }$），但此时上面的式子依旧成立，即 $a^{\prime }{x}^{\prime }+0\times y^{\prime }=d$，也就是 $a^{\prime }{x}^{\prime }=d$，根据辗转相除法的原理，此时 $a^{\prime }$ 就是求得的最大公约数。此时我们就可以知道，$a^{\prime }{x}^{\prime }=d$ 中的 $x^{\prime }$ 应该为 $1$，而 $y^{\prime }$ 可以为任意数（$0$ 乘任何数都是 $0$，一般取 $0$）。现在，你已经求出了一个符合的 $x^{\prime },y^{\prime }$，而这个值我们可以回代，就可以求出最初 $ax+by=d$ 中的 $x,y$。

该怎么回代呢，这里比较抽象，我们想一想，辗转完一次后的 $a^{\prime },b^{\prime }$ 分别等于多少呢？看看辗转相除法的代码。

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? a : gcd(b, a % b);
}

可以发现我们向下传的 $a^{\prime },b^{\prime }$ 其实就是 $b,amodb$。那么我们等式 $a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{y}^{\prime }=d$ 就变为了，$b{x}^{\prime }+(amodb)y^{\prime }=d$，我们也知道 $amodb=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$，那么式子就可以进一步化为

$$b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b{y}^{\prime }=d$$

整理可得

$$a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime })=d$$

而我们之前的式子有

$$ax+by=d$$

这就产生对应关系了，如果我们知道一种 $x^{\prime },y^{\prime }$ 的值，就可以求出一种 $x,y$ 的值，对应关系即为

$$\begin{array}{rl}x& =y^{\prime }\\ y& =x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }\end{array}$$

还记得上面说的，我们可以求出最后一个 $x^{\prime },y^{\prime }$ 的值吗，既然有了关系，那么就可以回代了。

代码实现

然后就是代码中的实现方式，为了把后面的 $x^{\prime },y^{\prime }$ 传上来，我们需要用取址，在最后还要特判 $b=0$ 时，把此时的 $x,y$ 赋值。对于之前的 $x,y$ 我们就根据关系来求出即可，而这一步，就是本文重点。

我们可以写出如下代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
        if (b == 0)
        {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tx = x, ty = y; // 即x',y'
        y = tx - a / b * ty;
        x = ty;
        return d;
    }

但实际上代码还可以精简，因为是用传址带回来的 $x^{\prime },y^{\prime }$，在当前 $x,y$ 还没更新时，有 $x=x^{\prime }$ 和 $y=y^{\prime }$，这样的关系，因此可以直接用 $x,y$ 代替代码中 $tx,ty$，则有新代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = y;
	y = x - a / b * t;
	x = t;
	return d;
}

但这还不是我们最常用的，众所周知，辗转相除法在代码实现上为了让 $a,b$ 互换位置辗转相除，在递归上是 gcd(b, a % b)，而不是 gcd(a % b, b)。这里我们可以借鉴思想，把扩展欧几里得里面的 $x,y$ 在递归下一层时换位。这样有什么好处？此时

$$x=y^{\prime },y=x^{\prime }$$

在求出当前 $x,y$ 时就变成了

$$\begin{array}{rl}x& =y^{\prime }=x\\ y& =x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }=y-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor x\end{array}$$

你会发现，$x$ 我直接不用变了，而 $y$ 我直接自减即可，不用定义新变量，更简洁，于是得到了代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

而这就是我们最常用的扩展欧几里得代码。

至此，本文结束。