P10380 「ALFR Round 1」D 小山的元力

历时两天，算是搞出来了。
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提醒
首先如果你是用 Lucas 定理并用阶乘形式来求组合数的，请判断组合数是否成立，即 \(C_a^b\)，\(a\) 是否大于等于 \(b\)。如果小于你将 re 几个点，如果是直接用快速幂求解逆元来做的，恭喜你，你将 WA#20和#46。因为 \(p\) 可能小于 \(n,m\) 或 \(n + m\)，导致你求出的阶乘到了\(f[p]\) 时变为 \(0\)，使得后面的计算错误。

正题

分析题意，首先对于第 \(i\) 堆，当这堆放这 \(k\) 个元素的时候，无论这是哪一堆，它外面的情况的总数都是一样的，也就是分配剩下 \(n - k\) 个数的情况的数量是一样的。每一堆都如此，那么这堆放 \(k\) 个元素的总贡献就是 \(k \times 总情况数 \times sum\) 。 \(sum = 1! + 2! + \dots + m!\) 因为 sum 是固定的所以可以提出来最后相乘，那么目标就是求所有的 \(k \times 总情况数\)。

设一共有 \(n\) 个相同元素，放 \(m\) 堆（每堆可以不放），\(k\in [0,n]\)，那么剩下的就是求每个 \(k\) 对应的总情况数。

设当前堆放 \(k\) 个数，那么就剩下 \(n - k\) 个数要分配到 \(m - 1\) 个空堆（可以不放）。这里可以用隔板法，用 \(m - 2\) 个隔板，把剩下 \(n - k\) 个数分成 \(m - 1\) 块。因为有空堆，而隔板法不能有空的分配，所以可以人为添加 \(m - 1\) 个元素，把情况变成必须放，这时候元素有 \(n - k + m - 1\) 个，空隙（两边不算）有 \(n - k + m - 1 - 1\) 个，即 \(n - k + m - 2\) 个。剩下的就是在这 \(n - k - 2\) 个空隙里面选 \(m - 2\) 个放上隔板，也就是求 \(C_{n - k + m - 2} ^ {m - 2}\)。

求组合数有很多方法，当时看数据范围，我直接用的快速幂求通过阶乘求解，然后因为 \(p\) 的大小寄掉了，也就是上面的提醒。因此这里用 Lucas 定理求解组合数，这样就不会因为 \(p\) 的事情寄掉了，时间上也够。且因为模数 \(p\) 不变，所以可以先预处理阶乘，但是不要先预处理逆元，否则时间复杂度会变成 \(O(p\log n)\) 容易 TLE。动态求解逆元，求出组合数，也就是总情况数。

最后把每种 \(k\) 的总情况数乘上 \(k\) 相加即

\[\sum_{k = 0}^{n} (k \times C_{n - k + m - 2} ^ {m - 2}) \]

而这就是答案 \(ans\)。

最后输出 \(ans \times sum \bmod p\) 即可。

注意当 \(m = 1\) 的时候需要特判

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 11000100;

int n, m, p;
int f[N];
int sum;

int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

int in_f(int x) // 逆元
{
    return qmi(x, p - 2, p);
}

int C(int a, int b)
{
    if (a < b) return 0; // 一定要判断，不然会re，可能本地没问题，但那只是越界不够大而已
    return (LL)f[a] * in_f(f[b]) % p * in_f(f[a - b]) % p; 
}

int lucas(int a, int b) // 获取C(a, b)组合数
{
    if (a < p && b < p) return C(a, b);
    return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}


int main()
{
    cin >> n >> m >> p;
    
    if (m == 1) // 特判
    {
        cout << n % p;
        return 0;
    }
    
    f[0] = 1;
    int maxv = max(m, p - 1);
    for (int i = 1; i <= maxv; i ++ )
    {
        f[i] = (LL)f[i - 1] * i % p;
        if (i <= m) sum = (sum + f[i]) % p; 
    }
    
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
    {
        ans = (ans + (LL)i * lucas(n - i + m - 2, m - 2) % p) % p;
    }
    cout << (LL)ans * sum % p << endl;
    return 0;
}