[ACM] 最短路算法整理（bellman_ford , SPFA , floyed , dijkstra 思想，步骤及模板）
以杭电2544题目为例
最短路
Problem Description
在每年的校赛里，全部进入决赛的同学都会获得一件非常美丽的t-shirt。
可是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的。所以如今他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线。你能够帮助他们吗？
Input
输入包含多组数据。
每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100。M<=10000）。N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地。标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。
N=M=0表示输入结束。接下来M行。每行包含3个整数A。B。C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员须要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入，输出一行。表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0
Sample Output
3 2
Source
//bellman_ford算法，求单源到其他节点的最短路。能够处理含有负权的边，而且能推断图中是否存在负权回路（这一条在一些题中也有应用）
//无向图转化为有向图，边数加倍，构造边结构体，没用到邻接矩阵
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxNodeNum=110;//最多节点个数
const int maxEdgeNum=10010;//最多边条数
int nodeNum,edgeNum;//节点，有向边个数
int dis[maxNodeNum];//从单源点到各个点的距离
const int inf=0x3f3f3f3f;//边的权重无穷大数
bool loop;//推断是否存在负权回路
struct Edge
{
int s,e,w;
}edge[maxEdgeNum*2];//构造边，这里由于是无向图，要看成有向处理。
void bellman_ford(int start)
{
//第一步：赋初值
for(int i=1;i<=nodeNum;i++)
dis[i]=inf;
dis[start]=0;
//第二步，对边进行松弛更新操作
for(int i=1;i<=nodeNum-1;i++)//最短路径为简单路径不可能含有环，图中最多有nodeNum-1条边
{
bool ok=0;
for(int j=1;j<=edgeNum;j++)
{
if(dis[edge[j].s]+edge[j].w<dis[edge[j].e])//松弛
{
dis[edge[j].e]=dis[edge[j].s]+edge[j].w;
ok=1;
}
}
if(ok==0)
break;
}
//第三步。推断图中是否存在负权环
loop=0;
for(int i=1;i<=edgeNum;i++)
if(dis[edge[i].s]+edge[i].w<dis[edge[i].e])
loop=1;
}
int main()//125MS
{
while(cin>>nodeNum>>edgeNum&&(nodeNum||edgeNum))
{
int from,to,w;
int cnt=1;
for(int i=1;i<=edgeNum;i++)//无向图，一条无向边看为两条有向边
{
cin>>from>>to>>w;
edge[cnt].s=edge[cnt+1].e=from;
edge[cnt].e=edge[cnt+1].s=to;
edge[cnt++].w=w;
edge[cnt++].w=w;//切记。不能写成 edge[cnt++]=edge[cnt++].w；
}
edgeNum*=2;//无向图
bellman_ford(1);
cout<<dis[nodeNum]<<endl;
}
return 0;
}
//SPFA算法，是对bellman_ford算法的优化。採用队列，在队列中取点对其相邻的点进行松弛操作
//假设松弛成功且相邻的点不在队列中，就把相邻的点增加队列，被取的点出队，并把它的状态(是否在队列中)
//改为否。vis[i]=0,同一个节点能够多次进入队列进行松弛操作
//这种题操作步骤：首先建立邻接矩阵。邻接矩阵初始化为inf,注意须要推断一下输入的边是否小于已有的边。取最小的那个，由于可能有重边,
//建立完邻接矩阵，写SPFA函数，dis[]数组初始化为inf,源点dis[start]=0
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxNodeNum=110;//最多节点个数
const int maxEdgeNum=10010;//最多边条数
const int inf=0x3f3f3f3f;//边的权重无穷大数
int nodeNum,edgeNum;//节点。有向边个数
int dis[maxNodeNum];//从单源点到各个点的距离
bool vis[maxNodeNum];//某个节点是否已经在队列中
int mp[maxNodeNum][maxNodeNum];//建立邻接矩阵
void SPFA(int start)
{
//第一步：建立队列。初始化vis,dis数组。并把源点增加队列中，改动其vis[]状态
queue<int>q;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=nodeNum;i++)
dis[i]=inf;
dis[start]=0;
q.push(start);
vis[start]=1;
//第二步：在队列中取点，把其vis状态设为0，对该点相邻的点（连接二者的边）进行松弛操作，改动相邻点的dis[]
//并推断相邻的点vis[]状态是否为0(不存在于队列中),假设是。将其增加到队列中
while(!q.empty())
{
int from=q.front();
q.pop();
vis[from]=0;//别忘了这一句，哎
for(int i=1;i<=nodeNum;i++)
{
if(dis[from]+mp[from][i]<dis[i])
{
dis[i]=dis[from]+mp[from][i];
if(!vis[i])//要写在松弛成功的里面
{
q.push(i);
vis[i]=1;
}
}
}
}
}
int main()//109MS
{
while(cin>>nodeNum>>edgeNum&&(nodeNum||edgeNum))
{
int from,to,w;
memset(mp,inf,sizeof(mp));//初始化
for(int i=1;i<=edgeNum;i++)//无向图，一条无向边看为两条有向边
{
cin>>from>>to>>w;
if(w<mp[from][to])
mp[from][to]=mp[to][from]=w;
}
SPFA(1);
cout<<dis[nodeNum]<<endl;
}
return 0;
}//floyed算法，时间复杂度高，但代码简单。能够处理负边，但图中不能包括负权回路
//能够求随意一点到另外一点的最短路。而不仅仅是源点唯一
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxNodeNum=110;//最多节点个数
const int maxEdgeNum=10010;//最多边条数
const int inf=0x3f3f3f3f;
int nodeNum,edgeNum;//节点，有向边个数
int mp[maxNodeNum][maxNodeNum];//建立邻接矩阵
void floyed()
{
for(int k=1;k<=nodeNum;k++)
for(int i=1;i<=nodeNum;i++)
for(int j=1;j<=nodeNum;j++)
if(mp[i][k]+mp[k][j]<mp[i][j])
mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];
}
int main()//140MS
{
while(cin>>nodeNum>>edgeNum&&(nodeNum||edgeNum))
{
int from,to,w;
memset(mp,inf,sizeof(mp));//初始化
for(int i=1;i<=edgeNum;i++)//无向图，一条无向边看为两条有向边
{
cin>>from>>to>>w;
if(w<mp[from][to])
mp[from][to]=mp[to][from]=w;
}
floyed();
cout<<mp[1][nodeNum]<<endl;
}
return 0;
}//dijkstra算法求最短路，单源最短路，不能处理带有负权的图
//思想为单源点增加集合，更新dis[]数组。每次取dis[]最小的那个点。增加集合，再次更新dis[]数组，取点增加集合，直到全部的点都增加集合中
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxNodeNum=110;//最多节点个数
const int maxEdgeNum=10010;//最多边条数
const int inf=0x3f3f3f3f;
int nodeNum,edgeNum;//节点，有向边个数
int mp[maxNodeNum][maxNodeNum];//建立邻接矩阵
int dis[maxNodeNum];//dis[i]为源点到i的最短路径
bool vis[maxNodeNum];//推断某个节点是否已增加集合
void dijkstra(int start)
{
//**第一步：初始化。dis[]为最大，vis均为0（都未增加集合）
memset(dis,inf,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[start]=0; //<span style="color:#ff0000;">注意不能写vis[start]=1,由于这时候第一个节点还没有被訪问。以下循环中。第一个选择的就是第一个节点，切记</span>
//**第二步：找dis[]值最小的点。增加集合，并更新与其相连的点的dis[]值
//一開始集合里没有不论什么点。以下的循环中，第一个找到的点肯定是源点
for(int i=1;i<=nodeNum;i++)
{
//寻找dis[]最小的点，增加集合中
int MinNumber,Min=inf;//MinNumber为dis[]值最小的点的编号
for(int j=1;j<=nodeNum;j++)
{
if(dis[j]<Min&&!vis[j])
{
Min=dis[j];
MinNumber=j;
}
}
//找到dis[]最小的点，增加集合，更新与其相连的点的dis值
vis[MinNumber]=1;
for(int j=1;j<=nodeNum;j++)
if(dis[MinNumber]+mp[MinNumber][j]<dis[j])
dis[j]=dis[MinNumber]+mp[MinNumber][j];
}
}
int main()//109MS
{
while(cin>>nodeNum>>edgeNum&&(nodeNum||edgeNum))
{
int from,to,w;
memset(mp,inf,sizeof(mp));//初始化
for(int i=1;i<=edgeNum;i++)//无向图，一条无向边看为两条有向边
{
cin>>from>>to>>w;
if(w<mp[from][to])
mp[from][to]=mp[to][from]=w;
}
dijkstra(1);
cout<<dis[nodeNum]<<endl;
}
return 0;
}
