POJ 1163 The Triangle（经典问题教你彻底理解动归思想）
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Description
7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 (Figure 1)
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Sample Input
5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5
Sample Output
30题意：
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部究竟边的路径。使得
路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都仅仅能往左下或
右下走。仅仅须要求出这个最大和就可以。不必给出详细路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99
超级经典啊有木有，，理解动归必看啊有木有。
。。
解题思路：
用二维数组存放数字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1開始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)究竟边的各条路径中，
最佳路径的数字之和。
问题：求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发，下一步仅仅能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。
故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
数字三角形的递归程序:
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
回答：反复计算
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
假设採用递规的方法，深度遍历每条路径。存在大
量反复计算。则时间复杂度为 2 n ,对于 n = 100
行，肯定超时。
比方：当我们在计算第三行长度时。由于8 1 0的产生都基于第四行的”7“这个位置，即的D[4][2],又在进行路径搜索时前面共同拥有1*2*3条路径，这就会反复计算6*2次==12次。
考虑到假设能去除反复将会使得程序执行效率大大提高。
那么详细怎么做呢？？？
假设每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用
到其值的时候直接取用，则可免去反复计算。
那么
能够用O(n 2 )时间完毕计算。由于三角形的数字总
数是 n(n+1)/2
数字三角形的记忆递归型动归程序：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j];
else {
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
递推型动归程序：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main() {
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j]
cout << maxSum[1][1] << endl;
}空间优化：
不是必需用二维maxSum数组存储每个MaxSum(r,j),仅仅要从底层一行行向上
递推。那么仅仅要一维数组maxSum[100]就可以,即仅仅要存储一行的MaxSum值就
能够。
想一下：详细情形是这种，依次选取相邻两个中最大的再加上D[i][j],那么新得到的数值将存储到数组中并覆盖这个相邻数的前一个，每经过一次i循环，数组被覆盖的数值逐渐降低，知道第二行相加覆盖第一行也就是第一个数组D[1].你会发现，仅仅有数组中的第n个数是没有改变的，。
看代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX];
int max(int a,int b)
{return a>b?a:b;}
int main() {
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for(i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[i] = D[n][i];
for(i = n-1; i>= 1; --i )
for(j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
return 0;
}进一步考虑。连maxSum数组都能够不要，直接用D的
第n行替代maxSum就可以。
节省空间，时间复杂度不变
看代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n; int * maxSum;
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}动规解题的一般思路
1. 将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题。子问题和原问题形式同样
或类似，仅仅只是规模变小了。
子问题都解决，原问题即解
决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每一个子问题仅仅需求
解一次。
2. 确定状态
在用动态规划解题时。我们往往将和子问题相
关的各个变量的一组取值。称之为一个“状
态”。一个“状态”相应于一个或多个子问题，
所谓某个“状态”下的“值”。就是这个“状
态”所相应的子问题的解。
2. 确定状态
全部“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态
空间”的大小。与用动态规划解决这个问题的时间复杂度直接相关。
在数字三角形的样例里，一共同拥有N×(N+1)/2个数字，所以这个
问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每一个状态所需
时间。
在数字三角形里每一个“状态”仅仅须要经过一次，且在每一个
状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
2. 确定状态
用动态规划解题，常常碰到的情况是，K个整型变量能
构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量
构成“状态”）。
假设这K个整型变量的取值范围各自是
N1, N2, ……Nk，那么，我们就能够用一个K维的数组
array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。
这个
“值”未必就是一个整数或浮点数，可能是须要一个结构
才干表示的。那么array就能够是一个结构数组。
一个
“状态”下的“值”一般会是一个或多个子问题的解。
3. 确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例。初始状态就是底边数字，值
就是底边数字值。
4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”。以及在该 “状态”下的“值”后。就要
找出不同的状态之间怎样迁移――即怎样从一个或多个“值”已知的
“状态”。求出还有一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。
状
态的迁移能够用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方
程”。
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。假设问题的最优解所包括的
子问题的解也是最优的。我们就称该问题具有最优子结
构性质。
2) 无后效性。
当前的若干个状态值一旦确定。则此后过程
的演变就仅仅和这若干个状态的值有关。和之前是採取哪
种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没
有关系。
