牛顿迭代法与一道经典编程问题

       牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method）。它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

       既然牛顿迭代法能够用来求解方程的根，那么最好还是以方程 x2=n 为例，来试着求解它的根。

为此。

令f(x)=x2−n， 也就是相当于求解 f(x)=0 的解。如上图所看到的。


       首先随便找一个初始值 x0，假设 x0不是解，做一个经过 (x0,f(x0)) 这个点的切线，与x轴的交点为x1。相同的道理。假设 x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。以这种方式得到的xi会无限趋近于 f(x)=0 的解。


推断xi是否是f(x)=0的解有两种方法： 一是直接计算f(xi)的值推断是否为0，二是推断前后两个解xi和xi−1是否无限接近。


经过(xi,f(xi))这个点的切线方程为

f(x)=f(xi)+f′(xi)(x−xi)

当中。f′(x)为f(x)的导数，本题中为2x。

令切线方程等于 0。就可以求出

xi+1=xi−f(xi)f′(xi)

继续化简

xi+1=xi−x2i−n2xi=xi−xi2+n2xi=xi2+n2xi

基于上述迭代公式，我们其实给出了一个求平方根的算法。其实，这也的确是非常多语言中内置的开平方函数的实现方法。

Leetcode上也有一道经典面试题目涉及到开平方函数的实现。例如以下

基于我们已经给出的牛顿迭代法，以下就可来编程解决该问题了。演示样例代码例如以下

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x ==0)  
        return 0;  
        double pre;  
        double cur = 1;  
        do  
        {  
        pre = cur;  
        cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;  
        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);  
        return int(cur);  
    }
};