二叉查找树之红黑树

 关于红黑树，先上一张图，这里推荐一个可视化数据结构的网站：可视化带动画的数据结构基本的在线操作，我在这上面生成了一张：

网上有很多教程，写的也非常棒，这里简单的总结一下其基本性质:

 

1.每一个节点或者是红色，或者是黑色；

2. 根节点是黑色的；

3.如果一个节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的；

4.从一个节点到一个null引用（如上图 的 60节点的左子节点其实是没有的）的每一条路径一定包含相同数目的黑色节点

5.规定 null引用指向的节点(即空节点)是黑色的。

 

二 .为啥有了AVL树还要有红黑树

根据二者的结构图很容易看出红黑树的查找速度明显不如AVL树，为啥，因为它的平衡度没有AVL树好，即某些节点的深度会比AVL树大。那是为啥呢，稍后做个数据抽样测试：

 

三 .红黑树在插入和删除的时候是如何维护平衡的

根据上面描述的基本性质，可以推断维护平衡的其中一个条件是 给节点涂上颜色，但是涂上颜色后不一定平衡， 这就用到了前面AVL树的维持平衡的方式：旋转

综合即两种方式:

1. 改变节点的颜色

2.旋转节点

四 .红黑树的插入实现，有图有代码实现：

假设我们新插入的节点都是红色， 一会儿说明原因，下面先分析插入位置的几种情况，就像AVL树那样:

1.写入根节点

         即当前的树是空树，第一次插入 ，直接new 一个节点，根据红黑树的定义 根节点是黑色的，指定这个节点是黑色，如插入节点8：

 

2. 插入的节点的父节点是黑色节点

        为了满足上面定义的性质 后3条，插入的节点必须是红色的，而且插入后的树一定是平衡的，无需任何操作，这得益于上面的第4条性质，如下面的树插入值是2 的节点

                   

插入2以后:    

 

从这里能明显说明：如果插入的节点是红色，对于维护树的性质 不需要过多的操作，要简单的多， 所以规定先插入的节点的颜色默认是红色 。

 

3. 插入的节点的父节点是红色，叔叔节点也是红色

          这里强调一下，叔叔节点 是插入节点的祖父节点的另一个子节点，如图下面红黑树，插入节点3，其父节点 4 和叔叔节点 7 都是红色

 

插入3后: 

          这时，违反了性质3: 红色节点的子节点只能是黑色节点

解决办法:

父亲和叔叔都变成黑色，祖父变成红色：

4. 插入的节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色

          a. 插入到左子节点，接着上图，如下图，这里插入节点 65：

这里说明一下：父节点是红色，叔叔节点因为是祖父节点的null引用，所以是一个黑色节点，即空节点是黑色

这里也违反了 性质3：红色节点的子节点必须是黑色节点

解决办法:

先以插入节点的父节点 为支点右旋，然后就变成另外一种情况b 了，即 新节点插入到右子节点。

如图先右旋:

此时转向下面的情况:

           b. 插入到右子节点，接着上图，此时把70当插入节点，65当父节点:

           解决办法:

                 父节点 65 变黑，祖父节点 60 变红，并以祖父节点60 为支点左旋:

 

为了验证这种操作的通用性，这里我再做一组实验

 接着上图，这里我插入值是 2 的节点，再次验证上面的  a情况 ：

 这里为了对比直接将上面的图拷下来:

插入2 后: 

此时，按上面 a 的解决方案，直接右旋插入节点的父节点,就变成了:

右旋 3 后: 

 

这又变成了上面的情况 b,直接把插入节点指向原来的父节点，再对 新插入的节点（即现在的 3）进行情况b的操作，即: 3 的父节点 2 变成黑色，祖父节点 4 变成红色，左旋祖父节点 4 ：

嘿 ！，问题出来，左旋 4 后，因为4没有右节点，原来 4 的位置不是空吗， 这不对啊， 仔细观察发现 ：这时 应该左旋 2 ，即新节点的父节点，旋转后就变成了上面那个图了，又回去了，这样就成死循环了。

忽略这个图，回到上面的图，这里再次把那个图拷过来:

 

 

仔细观察，发现正常的操作应该是 ：

父节点 3 变黑，祖父节点 4 变红，右旋祖父节点 4:

这样维护了整个树的平衡，但是同样 父节点是红色，叔叔节点是黑色，插入的值在父节点的左儿子上，为啥跟上面的  a 情况不一样呢！

回顾一下前面的AVL树的插入  其中  左右 和 右左两种情况分别需要旋转2次才能解决， 同样这里也是一样：在 a 情况中 插入 65 就是 右 左 情况, 同理 b 情况也会出现类似的现象

所以在4 的情况下 插入后整个树的平衡(即满足红黑树的4条性质)调整不仅依赖于 插入节点是否是左右节点，还依赖于其父节点是否是左节点还是右节点

下面根据上面几幅图的操作，总结一下 插入的节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色 的整个操作：

• 插在左子树上，且父节点是祖父的左子节点：

                父节点变黑，祖父节点变红， 右旋祖父节点

• 插在左子树上，且父节点是祖父的右子节点：

               右旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成了插入节点（新节点），

　           新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 左旋新节点的祖父节点 【这里参考对象变了，所以描述的比较啰嗦】

• 插在右子树上，且父节点是祖父的右子节点：

　           父节点变黑，祖父节点变红，左旋祖父节点  (跟 2 的第二步一模一样)

• 插在右子树上，且父节点是祖父的左子节点：

              左旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成的插入节点（新节点）,

              新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 右旋新节点的祖父节点 【这里参考对象变了，所以描述的比较啰嗦】

 

 

红黑树的插入完整编码实现：

public class RBTree {

    /**
     * 红黑树的根节点
     */
    private TreeNode root;

    /**
     * 根据红黑树的性质，定义树节点
     * 树节点对象
     */
    static class TreeNode {
        /**
         * 节点的值
         */
        private int val;

        /**
         * 左子节点
         */
        private TreeNode left;

        /**
         * 右子节点
         */
        private TreeNode right;

        /**
         * 父亲节点
         */
        private TreeNode parent;

        /**
         * 是否红色节点
         */
        private boolean red;

        /**
         * 默认插入的节点是红色的
         *
         * @param val
         */
        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
            this.red = true;
        }

    }

    /**
     * @param value 待插入的值
     */
    public void add(int value) {
        TreeNode t = root;
        if (root == null) {
            root = new TreeNode(value);
            //根节点是黑色的
            root.red = false;
            return;
        }
        TreeNode parent = null;
        while (t != null) {
            //第一次parent指向root, t 也是root
            parent = t;
            if (value < t.val)
                t = t.left;
            else if (value > t.val)
                t = t.right;
            else
                t.val = value;
        }
        t = new TreeNode(value);
        //parent是上一次循环后的t
        t.parent = parent;
        if (parent != null) {
            if (t.val < parent.val)
                parent.left = t;
            else
                parent.right = t;
        }
        //添加完后 t是新的插入节点，对新插入的节点进行平衡调整
        fixAfterInsertion(t);
        //修复完后，最终的根节点的颜色是黑色
        root.red = false;
    }

    /**
     * 插入后新插入的节点进行从下向上变色，和旋转处理
     *
     * @param t
     * @solutions :
     * 1. 插在左子树上，且父节点是祖父的左子节点：
     * 父节点变黑，祖父节点变红， 右旋祖父节点
     * 2. 插在左子树上，且父节点是祖父的右子节点：
     * 右旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成了插入节点（新节点），
     * 新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 左旋新节点的祖父节点 【这里参考对象变了，所以描述的比较啰嗦】
     * 3. 插在右子树上，且父节点是祖父的右子节点：
     * 父节点变黑，祖父节点变红，左旋祖父节点  (跟 2 的第二步一模一样)
     * 4. 插在右子树上，且父节点是祖父的左子节点：
     * 左旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成的插入节点（新节点）,
     * 新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 右旋新节点的祖父节点 【这里参考对象变了，所以描述的比较啰嗦】
     */
    private void fixAfterInsertion(TreeNode t) {
        while (t != null && t != root && t.red && t.parent.red) {
            TreeNode parent = t.parent;
            TreeNode grand = parentOf(parent);
            TreeNode uncle = uncleOf(t);
            //叔叔是null或者是黑色, 即叔叔都是黑色
            if (uncle == null || (!uncle.red)) {
                //1.插在左子树上
                if (parent.left == t) {
                    //1.1. 父节点是祖父的左子节点:  父节点变黑，祖父节点变红， 右旋祖父节点
                    if (parent == grand.left) {
                        setColor(parent, false);
                        setColor(grand, true);
                        rotateRight(grand);
                    } else {
                        //1.2. 父节点是祖父的右子节点:
                        // 右旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成了插入节点（新节点），下面这一步就递归了。
                        // 新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 左旋新节点的祖父节点
                        t = parent;
                        rotateRight(parent);
                    }
                } else {
                    //2. 插在右子树上
                    //2.1. 父节点是祖父的右子节点:  父节点变黑，祖父节点变红，左旋祖父节点
                    if (parent == grand.right) {
                        setColor(parent, false);
                        setColor(grand, true);
                        rotateLeft(grand);
                    } else {
                        //2.2. 父节点是祖父的左子节点:
                        //左旋父节点，并把插入节点指向父节点，即原来的父节点变成的插入节点（新节点）,
                        //新节点的父节点变黑 ，新节点的祖父节点变红， 右旋新节点的祖父节点
                        t = parent;
                        rotateLeft(parent);

                    }
                }
            } else {
                //叔叔是红色,直接把叔叔和父亲变成黑色，爷爷变成红色
                //父亲,叔叔变黑
                setColor(parentOf(t), false);
                setColor(uncleOf(t), false);
                //爷爷变红
                setColor(grandfatherOf(t), true);
            }
        }
    }

    /**
     * 给指定的节点上色
     *
     * @param treeNode
     * @param b        false : 黑色，true : 红色
     */
    private void setColor(TreeNode treeNode, boolean b) {
        if (treeNode != null)
            treeNode.red = b;
    }

    /**
     * 左旋
     * 基本的左旋，左旋与avl树一样
     *
     * @param node
     */
    private void rotateLeft(TreeNode node) {
        TreeNode right = node.right;
        node.right = right.left;
        if (right.left != null)
            right.left.parent = node;
        right.parent = node.parent;
        //重新给父节点的孩子赋值
        if (node.parent == null)
            root = right;
        else if (node.parent.left == node)
            node.parent.left = right;
        else
            node.parent.right = right;
        //重新给孩子的父节点赋值
        right.left = node;
        node.parent = right;
    }

    /**
     * 右旋
     * 基本的右旋， 右旋与avl树一样
     *
     * @param node
     */
    private void rotateRight(TreeNode node) {
        TreeNode left = node.left;
        node.left = left.right;
        if (left.right != null)
            left.right.parent = node;
        left.parent = node.parent;
        //重新给父节点的孩子赋值
        if (node.parent == null)
            root = left;
        else if (node.parent.left == node)
            node.parent.left = left;
        else
            node.parent.right = left;
        //重新给孩子的父节点赋值
        left.right = node;
        node.parent = left;
    }

    /**
     * 获取指定节点node 的父节点
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private TreeNode parentOf(TreeNode node) {
        return node == null ? null : node.parent;
    }

    /**
     * 获取指定节点node的叔叔节点(父亲的兄弟)
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private TreeNode uncleOf(TreeNode node) {
        TreeNode parent = parentOf(node);
        TreeNode left = leftOf(grandfatherOf(node));
        if (parent == left)
            return rightOf(grandfatherOf(node));
        else
            return left;
    }

    /**
     * 获取指定节点的爷爷节点
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private TreeNode grandfatherOf(TreeNode node) {
        return parentOf(parentOf(node));
    }

    /**
     * 获取指定节点的左子节点
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private TreeNode leftOf(TreeNode node) {
        return node == null ? null : node.left;
    }

    /**
     * 获取指定节点node的右子节点
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private TreeNode rightOf(TreeNode node) {
        return node == null ? null : node.right;
    }


    /**
     * 断点测试一下
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        RBTree obj = new RBTree();
        obj.add(4);
        obj.add(2);
        obj.add(1);
        obj.add(5);
        obj.add(6);
        obj.add(10);
        obj.add(8);
        System.err.println(obj.root);
    }
    //嗯，画出图来，好使
}

 

不错，要的就是这儿效果