10.11 牛客
10.11 牛客
得分情况
30 + 0 + 40 + 0 = 70
题解
T1 最终测试
\(30\ Pts\)
枚举所有可能性 对于每种可能性 对选手排序得到排名
\(60\ Pts\)
设 \(E_i\) 表示第 \(i\) 为选手的期望排名 \(s_i\) 为第 \(i\) 位选手的得分 有:
\[E_i = 1 + \sum_{j \ne i}P(s_i < s_j)\\ = 1 + \sum_{j \ne i}\frac 1{16}\sum_{0 \leq x1, x2, y1, y2 \leq 1} [x_1a_{i, 1} + x_2a_{i, 2} < y_1a_{j, 1} + y_2a_{j, 2}]
\]
复杂度: \(O(n^2)\)
这一部分的代码
\(100\ Pts\)
看上面那个式子 \(j\) 的枚举与 \(x_1, x_2\) 是不影响的 可以交换枚举的顺序
\[E_i = 1 + \frac 1{16} \sum_{0 \leq x_1, x_2 \leq 1}\sum_{j \ne i}\sum_{0 \leq y_1, y_2 \leq 1} [x_1a_{i, 1} + x_2a_{i, 2} < y_1a_{j, 1} + y_2a_{j, 2}]
\]
考虑里面的两个求和 当 \(x_1a_{i, 1} + x_2a_{i, 2}\) 确定之后就是求比其大的数的个数 将所有数存下来排个序 每次查询的时候二分
复杂度: \(O(n\log n)\)
这一部分的代码
T2 空间跳跃
题解说 \(dfs\) 期望能通过 \(40\%\) 的数据 但是 BS 爆零了
将构造过程反过来 看成从 \(n\) 到 \(1\) 的构造 那么操作 \(2, 3\) 可以看成 \(n = \frac n2\) 和 \(n = \frac n3 + 1\)
题解说根据 \(3n + 1\) 猜想 对于给定的范围 只要 \(n\) 为偶数就让 \(n = \frac n2\) 的话 正整数的 \(n\) 必然能到达 \(1\) 负整数的 \(n\) 必然能落到 \(-1, -5, -17\)
让 \(n\) 的绝对值足够小之后可以使用操作 \(1\) 将其变为正整数 在使用操作 \(2, 3\) 让 \(n\) 变为 \(1\)
题解说通过验证这样的构造不会超过 \(1500\) 步
T3 快速访问
题目要求维护一个点集到某个点的距离的平方和
直接差了
\[\sum_{v \in S}dis(u, v)^2 = |S|dep_u + \sum_{v \in S}dep_v^2 + 4\sum_{v \in S}dep_{lca(u, v)} + 2dep_u\sum_{v \in S}dep_v - 4dep_u\sum_{v \in S}dep_{lca(u, v)} - 4\sum_{v \in S}dep_vdep_{lca(u, v)}
\]
分别维护后面每一项即可
后面那一坨东西的第一项 第二项 第四项是可以直接维护的 其他项可以通过树剖维护
这里只补一个东西
\[\sum_{i = 1}^k(2i - 1) = 2\sum_{i = 1}^ki - k = 2 \times \frac {(1 + k)k}2 - k = k^2
\]
然后就可以直接做了
T4 门童
咕~
