解题营_动规

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动态规划

前言

8.20

写过去的时间比较久了 也懒得补代码了 思路问题不是很大 扔下了...

大多数的题已经做完了 代码其实是有的 但是隔得时间比较久了 再回来写就感觉写不下去了.

再找机会吧

当然做过的题目在洛谷上都是可以找到提交记录的..

题目

P2704 炮兵阵地

经典的状压 \(dp\)

P5933 串珠子

状压

联通难以处理 正难则反 考虑算出不联通的方案数 再用总方案数减去

设 \(f_S\) 表示选点状态为 \(S\) 时 有多少联通子图

联通子图的数量不容易计算 考虑计算不联通的子图数量

随便钦定 \(S\) 内的一个点 \(p\) 枚举 \(p\) 所在的联通块 \(T \in S\) 预处理 \(g_S\) 表示 \(S\) 内的子图数量(所有边的乘积)

P1777 帮助

将移动 \(k\) 分为两步 先删 再插入被删的数

如果已知删去的是那些数 插入的时候可以贪

一个数在插入过程中产生代价当且仅当该数在删除过程中删干净了

数的种类可以压

仅考虑删除 设 \(f_{i, j, x}\) 表示仅考虑前 \(i\) 个数 从中删掉 \(j\) 个数且最后剩下的数是 \(x\) 的最小混乱度

考虑插入步骤产生的影响 直接压没被删掉的数的集合 设 \(f_{i, j, x, S}\) 表示 考虑前 \(i\) 个数 删去 \(j\) 个数 最后剩下的数为 \(x\) 且未被删除的数的集合为 \(S\) 时的最小混乱度

P6622 信号传递

从第 \(i\) 个位置传到第 \(j\) 个位置 如果 \(i < j\) 则 时间为 \(j - i\) 否则为 \(K \times (i + j)\)

信号站的数量少 可以压

信号传递的顺序无关紧要 只序言知道对于每个 \(i, j\) 有多少次从 \(i\) 传到 \(j\) 和有多少次从 \(j\) 传到 \(i\)

预处理每两个信号站之间的传递次数

对于位置 \(x, y\) 的两个信号站 如果有 \(A\) 次从左到右 和 \(B\) 次从右到左 那么产生的时间为 \(A(y - x) + BK(x + y)\)

设 \(f_S\) 表示给 \(S\) 内的信号站排序的最小传递时间 每加入一个点算它作为 \(x\) 和 \(y\) 的时间贡献

P3959 宝藏

点数少 压点集 枚举子集

最后打通的为一棵树

代价和点到根的距离有关 考虑距离

按照离根的距离一层一层加点

设 \(f_{i, S}\) 表示打通 \(S\) 这个集合 距离根最远的点为 \(i\) 的最小代价 转移枚举距离为 \(i\) 的子集 \(T\) 然后对于 \(T\) 中每个点在 \(S/T\) 里找到代价最小的点

Pay to Win

通过以下操作将 \(0\) 变成 \(N\)

• 花 \(A\) 将数字乘 \(2\)
• 花 \(B\) 将数字乘 \(3\)
• 花 \(C\) 将数字乘 \(5\)
• 花 \(D\) 将数字加一或减一

\(N \leq 10^{18}\)

设 \(f_x\) 表示将 \(0\) 变为 \(x\) 的最小代价

第一个乘法前可能有若干个加一

将一次乘法和若干次加法绑定成一次操作

复杂度为 \(O(N)\)

可以采用记搜 避开转移不到 \(N\) 的状态 有用的 \(x\) 只有 \(\frac N{2^a3^b5^c}\) 的上取整或下取整形式

P3174 毛毛虫

确定一条链就能确定一个对应的毛毛虫 相当于求链

一条链可以断成两段 设 \(f_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树中以 \(u\) 为端点的链能抽出的毛毛虫的最大值 维护最大和次大儿子

P1472 奶牛家谱

恰好为 \(K\) 比较麻烦 改为 不超过 \(K\)

设 \(f_{i, j}\) 表示有多少点数为 \(i\) 最大深度不超过 \(j\) 的二叉树 转移枚举左儿子的点数

P1131 时态同步

对每个节点 其包含的所有叶子到它的距离相同

设 \(f_u\) 表示将 \(u\) 为根的字数内时态同步的最小代价

转移找最大的到叶子的距离 其他儿子与该距离做差

P1623 树的匹配

设 \(f_{u, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树内的 \(u\) 点是否选的最大匹配数量

\[f_{u, 0} = \sum \max(f_{v, 0}, f_{v, 1})\\ d = f_{v, 0} - \max(f_{v, 0}, f_{v, 1})\\ d = \min(0, f_{v, 0} - f_{v, 1})\\ f_{u, 1} = f_{u, 0} + 1 + d \]

设 \(f_{u, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树内 \(u\) 点是否选的匹配数匹配方案数

\[f_{u, 0} = \prod (f_{v, 0} + f_{v, 1})\\ f_{u, 1} = f_{u, 0}\sum \frac{f_{v, 0}}{f_{v, 0} + f_{v, 1}} \]

设 \(g_{u, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树内最大匹配

设 \(f_{u, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树内 \(u\) 点是否选的最大匹配的方案数

\[f_{u, 0} = \prod ([g_{v, 0} \geq g_{v, 1}] f_{v, 0} + [g_{v, 0} \leq g_{v, 1}]f_{v, 1})\\ f_{u, 1} = f_{u, 0} \times \sum_{d_v = d} \frac {f_{v, 0}}{[g_{v, 0} \geq g_{v, 1}] f_{v, 0} + [g_{v, 0} \leq g_{v, 1}]f_{v, 1}} \]

通过 \(g\) 判断转移是否可行

P5322 排兵布阵

要么直接占下来 要么不派

设 \(f_{i, j}\) 表示在前 \(i\) 个城堡派遣 \(j\) 个士兵的最大得分 转移枚举第 \(i\) 个城堡派遣的士兵数量(其他玩家派的兵力乘 \(2\) 加 \(1\))

P4141 消失之物

容斥或者卷

P1272 重建道路

树上背包

小 \(Y\) 的背包计数问题

设 \(f_{i, j}\) 表示使用前 \(i\) 个物品装满体积和为 \(j\) 的背包的方案数

转移枚举第 \(i\) 个数用了多少个

\[f_{i, j} = \sum_{k = 0}^i f_{i - 1, j - i \times k} \]

复杂度 \(O(n^3)\)

一般的多重背包

二进制拆分 \(O(n^2\log n)\)

对于方案数

单调队列 \(O(n^2)\)

前缀和优化

预处理 \(g_{i, j}\)

\[g_{i, j} = \sum_{k = 0}^{\lfloor \frac ji \rfloor} f_{i, j - ki} \]

转移

\[f_{i, j} = g_{i - 1, j} - g_{i - 1, j - i \times (i - 1)} \]

P3216 数学作业

设 \(f_i\) 表示将 \(1\) 到 \(i\) 拼起来 如果 \(i\) 的位数为 \(k\) 则转移为 \(f_i = f_{i - 1} \times 10^k + i\)

对于 \(k\) 相同的一段数 可以用矩阵快速幂优化 \(\{f_i, f_{i + 1}, i\}\)

P2579 沼泽鳄鱼

若没有食人鱼 设 \(f_u\) 表示走到 \(u\) 点的方案数 \(g_u\) 是多走一步到达 \(u\) 点的方案数 有 \(g = f \times A\) 其中 \(A\) 为原图的邻接矩阵 所以走 \(K\) 步就是求 \(A^K\)

考虑食人鱼的话 可以将食人鱼的周期直接看做 \(12\) 设当前食人鱼在周期中走到 \(i\) 有 \(g = f \times A \times B_i\) 其中 \(B_i\) 只在对角线上没有食人鱼的点上有值

于是要求的矩阵变为 \(AB_1AB_2AB_3\dots AB_{K \mod 12 + 1}\) 将每十二个绑到一起 做矩阵快速幂 剩下的直接乘上去

P3205 合唱队

每个人只能插入到最左边或最右边 不能插入到中间

在插入的过程中队形始终对应最终队形的一个区间

区间 \(dp\)

设 \(f_{l, r, 0/1}\) 表示排列成区间 \([l, r]\) 的序列 最后一个数插入左边还是右边的方案 转移枚举倒数第二个人插入左边还是右边

P4302 字符串折叠

区间 \(dp\)

设 \(f_{l, r}\) 表示将 \([l, r]\) 折叠的最小长度

转移考虑两种情况

多个折叠构成 枚举分解点分成两个

本身就是一个折叠 该串由若干小串重复若干次得到

枚举小串的长度 小串的长度必须整除原串的长度 确定小串长度后再暴力判断原串是否由小串重复得到

AT2558 Many Moves

设 \(f_{i, j}\) 表示处理前 \(i\) 个要求后两个棋子的位置分别在 \(x_i\) 和 \(j\)

\[f_{i + 1, j} = f_{i, j} + |x_i - x_{i + 1}|\\ f_{i + 1, x_i} = f_{i, j} + |j - x_{i + 1}| \]

复杂度 \(O(qn)\)

以线段树分别维护 \(f_{i, j}, f_{i, j} + j, f_{i, j} - j\) 的第二个维度

将 \(i\) 看做时间轴 以 \(j\) 为下标 随着 \(i\) 的改变 维护线段树

对于上面第一个式子 相当于全局加

第二个式子 \(\min (f_{i + 1, x_i}, f_{i, j} + |j - x_{i + 1}|)\)

分类讨论拆绝对值

对 \(j \leq x_{i + 1}\) 求 \(\min (f_{i, j} + x_{i + 1} - j)\)

对 \(j > x_{i + 1}\) 求 \(\min (f_{i, j} + j - x_{i + 1})\)

\(x_{i + 1}\) 是固定的可以拿出来

线段树中维护 \(f_{i, j} + j\) 和 \(f_{i, j} - j\)

P1850 换教室

设 \(f_{i, j, 0/1}\) 表示前 \(i\) 个教室 申请其中 \(j\) 个 最后一个是否申请的最小期望代价

转移枚举上一个教室是否申请

CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

无穷等比数列求和 当 \(0 < q < 1\)

\[\sum_{i = 1}^{\infty} q^i = \frac 1{1 - q} \]

在最后加一个 \(a\) 没有影响 在最后加一个 \(b\) 会增加若干个 \(ab\) 序列

设 \(f_{i, j}\) 表示当前有 \(i\) 个 \(a\) 和 \(j\) 个 \(ab\) 子序列的状态加到最后期望 \(ab\) 子序列的数量是多少

\[f_{i, j} = A \times f_{i + 1, j} + B \times f_{i, j + i} \]

当 \(j \geq k\) 时

\[f_{i, j} = j \]

第一维没有边界

将 \(i\) 限制在 \(k\) 以内 考虑如果直接求 \(f_{k, j}\) 的值

第二维会超过 \(k\) 直接带入值

\[f_{k, j} = Af_{k + 1, j} + B(j + k)\\ = A^2f_{k + 2, j} + AB(j + k + 1) + B(j + k)\\ = \dots\\ = \sum_{i = 0}^{\infty}A^iB(j + k + i)\\ = \sum_{i = 0}^{\infty}A^iB(j + k) + \sum_{i = 0}^{\infty}A^iBi\\ = B(j + k)\sum_{i = 0}^{\infty}A^i + B\sum_{i = 1}^{\infty}A^ii \]

对于前面那一坨东西 有:

\[B(j + k)\sum_{i = 0}^{\infty}A^i = \frac {B(j + k)}{1 - A} = j + k \]

对于后面那一坨东西

设:

\[\sum_{i = 1}^{\infty}A^ii = Q \]

有:

\[Q - AQ = A + \sum_{i = 2}^{\infty}A^i = \sum_{i = 1}^{\infty}A^i = \frac A{1 - A} \]

所以:

\[Q = \frac A{(1 - A)^2} = \frac A{B^2} \]

故原式可化为:

\[j + k + \frac AB \]

得到了 \(f_{k, j}\) 的值

所以

当 \(i = k\) 时 \(f_{i, j} = i + j + \frac AB\)

当 \(j \geq k\) 时 \(f_{i, j} = j\)

复杂度 \(O(k^2)\)

答案为 \(f_{0, 0}\)

CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend

设 \(b_i = a_i - i\)

则 \(a_i \leq a_{i + 1} - 1\) 等价于 \(b_i \leq b_{i + 1}\)

设 \(f_{i, j}\) 表示将前 \(i\) 个数变为单调不减且 \(b_i = j\) 的操作数

\[f_{i, j} = |b_i - j| + \min_{k \leq j}(f_{i - 1, k}) \]

后面那一坨东西是前缀最小值 可以预处理

\[g_{i, j} = \min(f_{i, j}, g_{i, j - 1})\\ f_{i, j} = |b_i - j| + g_{i - 1, j} \]

复杂度与值域有关 离散化

P2511 木棍分割

第一问显然可以二分 第二问 \(dp\)

设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个数分为 \(j\) 段 每段不超过 \(x\) 的方案数

转移枚举最后一段的长度

\[f_{i, j} = \sum_{k = 1}^i f_{i - k, j - 1}[sum_{i - k + 1, i} \leq x] \]

复杂度 \(O(mn^2)\) 显然可以超时

\(k\) 的枚举是有边界的 将 \(dp\) 数组的第一维可以前缀和优化

边界 也就是以每一个位置作为右端点的最大区间 是可以二分或者双指针 找到边界后可以把后面那东西去掉

P5999 kangaroo

相当于求有多少排列大小交替并且第一个和最后一个分别为 \(s\) 和 \(t\)

对于一个合法的排列 \(p\) 如果只考虑不超过 \(x\) 的值 \(p\) 会被划分为若干连续段

设 \(f_{i, j}\) 表示考虑不超过 \(i\) 的值 有多少最终排列能被划分为恰好 \(j\) 段的方案数

转移考虑加入 \(i\) 后 \(i\) 是单独作为一个段或是将两个相邻的段连接成了一个段

由于 \(i\) 是当前最大值 所以 \(i\) 不会作为段的端点

\[f_{i, j} = f_{i - 1, j + 1} \times j + f_{i - 1, j - 1}\times (j - [i > s] - [i > t])\\ f_{s, j} = f_{s - 1, j} + f_{s - 1, j - 1}\\ f_{t, j} = f_{t - 1, j} + f_{t - 1, j - 1} \]

答案为 \(f_{n, 1}\)

P6280 Exercise G

对于每个位置建图的话会形成若干个环 所以 \(K\) 就是所有环长的 \(lcm\)

\(lcm\) 只需要考虑每个质数的指数

相当于 求所有 \(K\) 的和满足 \(K\) 质因数分解后所有的 \(p^x\) 加起来不超过 \(n\)

设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个质数 所有 \(p^x\) 加起来为 \(j\) 时 \(K\) 的和

\[f_{i, j} = f_{i - 1, j} + \sum_{x > =}f_{i - 1, j - p^x} \times p^x \]

CF348D Turtles

可以看做一只从 \((1, 2)\) 到 \((n - 1, m)\) 另一条从 \((2, 1)\) 到 \((n, m - 1)\) 不妨设为 \(A, B, C, D\)

两只乌龟可以分别 \(dp\) 再合并 考虑如果剔除相交的方案

对于 \(A \to B, C \to D\) 的任意一条相交路径都可以在第一个交点位置翻折 得到 \(A \to D, C \to B\) 的路径 这两者是一一对应的关系 所以方案数相同

做两次 \(dp\) 再相乘 即 \((A \to B) \times (C \to D) - (C \to B) \times (A \to D)\)

P1453 城市环路

基环树独立集

设 \(f_{u, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树中最大独立集

找一条边断掉 跑树形 \(dp\) 即可