数学基础 2

数学基础

前言

又回来整理前面学的都忘干净了...

大多数(~~或者是全部~~)定理只有结论不涉及证明代码如果可以的话后面会补充

由于不分篇目的原因内容势必会非常杂乱但是应该不会分开写了反正也没人看

前面其实已经有数学基础1了这是 2 写的原因是上一遍和没学差不多

所以有些东西是重复的

或许后面还会有 3 或者 4 什么的也有可能继续在这个后面写

3 写不动了受限于个人水平有些东西学不会理解能力跟不上了 ~~所以开4了(雾~~

平衡三进制

对称三进制不标准的计数体系数字由 -1, 0, 1 构成基数为 3 用 z 代替 -1

负数即为将正数的数字倒转负数最高位为 z 正数最高位为 1

转换

先将一个数表示为 3 进制从最低位开始迭代跳过任何的 0 和 1 遇到 2 时将其变为 z 下一位的数字加 1 遇到 3 变为 0 下一位数字加 1

平衡三进制具有唯一性

一些符号

$[x]$ 表示 $x$ 下取整

$p_k$ 表示第 $k$ 个素数

$\pi(x)$ 表示 $1-$x 范围内的素数个数

$\mu(x)$ 表示莫比乌斯函数

$\#S$ 表示 $S$ 集合的大小

$\delta(x)$ 表示 $x$ 的最小质因子

$P^+(n)$ 表示 $x$ 的最大质因子

~~虽然并没有什么用就是了~~

素数

定义

如果一个数除了 $1$ 和它本身外无其他因子这个数被称为质数否则称为合数

\[\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x} \]

$1$ 既不是素数也不是合数

质因数分解

定义任何一个大于 $1$ 的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积写作:

\[N = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} \]

唯一分解定理

对于某一正整数 $n$ 其质因数分解的方式是唯一的
正整数除法
将被除数与除数先进行质因数分解再将对应每个素数的指数相减

\[\begin{array} & & 24 \div 8\\ = & (2 ^ 3 \times 3 ^ 1) \div 2^3\\ = & 2^{3 - 3} \times 3^{1 - 0}\\ = & 3 \end{array} \]

有

若 $m \mid n$

则 $n \div m = p_1^{a_1 - b_1} p_2^{a_2 - b_2}...p_m^{a_m - b_m}$

满足 $a_1 \geq b_1, a_2 \geq b_2 , ...$

验证 $n$ 是否可以被 $m$ 整除比较两数质因数分解后的各项质数

素数判定

试除法

不断尝试小于 $x$ 且大于 $1$ 的自然数只要有一个能整除 $x$ 则 $x$ 为合数否则 $x$ 是素数

由于约数都是成对存在的所以只需尝试 $[1, \sqrt x]$ 即可

筛法求素数

埃氏筛

复杂度 $O(n\log ^2n)$

对于枚举的数枚举其倍数并且将其倍数标记为合数

一个数会被其所有因子筛一遍造成时间上的浪费至于优化

欧拉筛(线筛)

复杂度 $O(n)$

思路与埃筛基本相同但是保证了每个数只被其最小质因子筛一遍对于枚举的数 $i$ 如果其之前没有被标记将其即为质数然后枚举其质数倍将其倍数标记为合数在 $i \mod 第j个素数 = 0$ 时结束枚举

费马小定理

如果 $p$ 为质数有整数 $a$ 且 $a \bot p$ 则 $a^{p - 1} \equiv 1 \mod p$

与欧拉定理的关系

当 $p$ 为质数时

\[\varphi(p) = p - 1 \]

此时的欧拉定理可写为

\[a^{\varphi(p)} \equiv 1 \mod p\\ a_{p - 1} \equiv 1 \mod p \]

即费马小定理

费马小定理即欧拉定理中 $p$ 为质数时的特殊情况

二次探测定理

若 $p$ 为质数且 $x^2 \equiv 1 \mod p$

那么 $x \equiv 1 \mod p$ 和 $x \equiv p - 1\mod p$ 中的一个成立

$p \mid (x + 1)(x - 1)$

约数

定义

如果 $a \mid b$ 则 $a$ 为 $b$ 的约数 $b$ 为 $a$ 的倍数

特别地任何数都是 $0$ 的约数

一般地有 $1 \mid a$ 与 $a \mid a$ 则 $1$, $a$ 称 $a$ 的平凡因子

约数的几种求法

试除法

枚举 $[1, \sqrt n]$ 中所有整数进行试除判断 $n$ 能否整除
优化

当求 $[1, n]$ 中所有数的约数时上面的试除法复杂度就变成了 $O(n \sqrt n)$

$1$ 到 $n$ 中一一个数 $x$ 为约数的数 $x, 2x, 3x, ..., \lfloor \frac nx \rfloor \times x$ 枚举到 $x$ 的时候枚举 $x$ 的倍数使他们的约数加上一个 $x$

复杂度 $O(n\log n)$

对任意数 $n$ 求约数个数

根据 $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$

通项公式: $num = \sum_{i = 1}^m(c_i + 1)$

对任意数 $n$ 求约数和

通项公式: $sum = \prod_{i = 1}^m\sum_{j = 0}^{c_i}p_i^j$

最大公约数与最小公倍数

最大公约数

定义 : 有 $n$, $m$ 两整数 $n, m$ 的最大公约数 $d$ 满足 $d \mid n$ 且 $d \mid m$ 的最大的 $d$ 记作 $d = \gcd(n, m)$ 简写为 $(n, m)$

设 $n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}, m = p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$

则 $d = p_1^{\min \{a_1, b_1 \}}p_2^{\min \{a_2, b_2 \}}...p_k^{\min \{a_k, b_k \}}$

最小公倍数

定义 : 有 $n$, $m$ 两整数 $n, m$ 的最小公倍数 $l$ 满足 $n \mid l$ 且 $m \mid l$ 的最小的 $l$ 记作 $l = lcm(n, m)$ 简写为 $[n, m]$

$l = d = p_1^{\max \{a_1, b_1 \}}p_2^{\max \{a_2, b_2 \}}...p_k^{\max \{a_k, b_k \}}$

另有 $(n, m) \times [n, m] = nm$

互质

定义 : 若 $\gcd(a, b) = 1$ 称 $a, b$ 互质记为 $a \bot b$

即: 当 $a, b$ 进行质因数分解之后没有相等的质因数

性质 :

对于两个不同的质数 $m, n$ 有 $\gcd(n, m) = 1$
对于任意相邻的整数 $n, m$ 有 $\gcd(n, m) = 1$
对任意自然数 $n$ 有 $\gcd(n, 1) = 1$
一个质数 $m$ 和一个合数 $n$ 若 $m \nmid n$ 则 $\gcd(n, m) = 1$

欧拉函数

定义 : 对正整数 $n$ 满足 $a \bot n$ $a < n$ 的 $a$ 的个数即为 $n$ 的欧拉函数的值记作 $\varphi(n)$

性质:

$\varphi(1) = 1$
$\varphi(p) = p - 1$
若 $n \bot m$ 则 $\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)$
当 $n$ 为奇数 $\varphi(2n) = \varphi(n)$
$\varphi(p^a) = p^a(1 - \frac 1p)$
对任意大于 $1$ 的正整数 $n$ 有$\varphi(n) = n\prod_{i = 1}^n(1 - \frac 1{p_i})$

对 5 :

比 $p^a$ 小的数有 $p^a - 1$ 个与 $p^a$ 不互质的数一定是 $p$ 的倍数 $p$ 的倍数可以表示为 $tp, t \in [1, p_{a - 1} - 1]$

与 $p$ 互质的数的个数:

$\varphi(p^a) \\ = (p^a - 1) - (p^{a - 1} - 1) \\ = p^a - p^{a - 1} \\ = p^{a - 1}(p - 1) \\ = p^a(1 - \frac 1p)$

对 6 :

设 $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}$

$\varphi(n) \\ = \varphi(p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}) \\ = \varphi(p_1^{c_1})\varphi(p_2^{c_2})...\varphi(p_k^{c_k}) \\ = p_1^{c_1}(1 - \frac 1{p_1})p_2^{c_2}(1 - \frac 1{p_2})...p_k^{c_k}(1 - \frac 1{p_k}) \\ = (p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}) \times (1 - \frac 1{p_1})(1 - \frac 1{p_2})...(1 - \frac 1{p_k}) \\ = n\prod_{i - 1}^n(1 - \frac 1{p_i})$

欧拉函数筛(咕)

众所周知有个叫欧拉函数筛的东西还有欧拉线筛可以在筛质数的时候顺便筛一下欧拉函数这里先咕着后面补

记着这个在 1 里面是有的

欧拉定理

对于两个互质的数 $a, p$ 有 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \mod p$

关于同余的一些概念

反身性: $a \equiv a \mod m$
对称性: 若 $a \equiv b \mod m$ 则 $b \equiv a \mod m$
传递性: 若 $a \equiv b \mod m$ 且 $b \equiv c \mod m$ 则 $a \equiv c \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, c \equiv d \mod m$ 则 $a \pm c \equiv b \pm d \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, c \equiv d \mod m$ 则 $ac \equiv bd \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, n \in N$ 则 $a^n \equiv b^n \mod m$
若 $ac \equiv bd \mod m$ 则 $a \equiv b \mod \frac m{(c, m)}$ 当 $(c, m) = 1$ 时 $a \equiv b \mod m$
若 $a \equiv b \mod m_i, i = 1, 2, ..., k$ 则 $a \equiv b \mod [m_1, m_2, ..., m_k]$

欧几里得与扩展欧几里得

欧几里得定理

$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \% b)$ 当 $b = 0$ 时有 $\gcd(a, b) = |a|$

应用: 可以方便的求 $(a, b)$

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}

裴蜀定理

设 $a, b$ 为不全为 $0$ 的整数则存在 $x, y$ 使 $ax + by = \gcd(a, b)$

特别的当 $\gcd(a, b) = 1$ 则存在 $x, y$ 使 $ax + by = 1$

题目: 裴蜀定理

大概是定理的推广形式

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P4549 【模板】裴蜀定理
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define Abs(x) ((x) < 0 ? -(x) : (x))
/*--------------------------------------头文件*/
int n, ans;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
int gcd(int _a, int _b) {return _b ? gcd(_b, _a % _b) : _a;}
/*----------------------------------------函数*/
int main() {
	n = read(); ans = read(); ans = Abs(ans);
	for(int i = 2, x; i <= n; i++) x = read(), ans = gcd(ans, Abs(x));
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

扩展欧几里得

对于不完全为 $0$ 的两个数 $a, b$ 必然存在无数个 $x, y$ 使方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 成立

求特殊解:

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
    if(b) exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
    else d = a, x = 1, y = 0;
}

应用:

求解不定方程
求解同余方程
求解模的逆元
求解同余方程组

对 1:

对方程 $ax + by = c$

不定方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 有无数组解

若 $\gcd(a, b) \nmid c$ 则原方程无解

若 $\gcd(a, b) \mid c$ 设 $d = \gcd(a, b)$

原方程可转化为 $a(x \times \frac dc) + b(y\times \frac dc) = c\times \frac dc$

令 $x_1 = x \times \frac dc, y_1 = y \times \frac dc$ 得

$ax_1 + by_1 = d$ 求解该方程得 $x_1, y_1$

得: $x = x_1 \times \frac cd, y = y_1 \times \frac cd$

既得原方程的解

对 2:

$ax \equiv c \mod b \to ax + nb = c + mb$

有 $ax + (n - m)b = c$ 求解该不定方程所得 $x$ 即为原方程的解

但是这不一定是最小正整数解

x = (x + b) % b;

题目: 同余方程

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int a, b, d, x, y;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); exgcd(a, b, d, x, y); x /= d; printf("%lld", (x % b + b) % b);
	return 0;
}

对 3:

适用于模数不为质数的情况

即解: $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

令 $a = x, x = inv(x)$ 有 $ax \equiv 1 \mod p$

对 4:

解如下方程组:

$\begin{cases}x \equiv a_1 \mod b_1 \\ x \equiv a_2 \mod b_2 \\ ... \\ x \equiv a_n \mod b_n \end{cases}$

其中 $a, b$ 为非负整数不保证模数互质

求解:

使用 $exgcd$ 对同余方程进行合并

假设当前已经求出了前 $k - 1$ 个方程的解 $x_{k - 1}$ 设 $M = lcm_{i = 1}^{k - 1}b_i$

即前 $k - 1$ 个方程的通解为 $x_{k - 1} + tM$ 现在目标是使第 $k$ 个方程的解为前 $k - 1$ 个方程的通解的同时也满足第 $k$ 个方程的条件设 $x_k = x_{k - 1} + tM$ 有 $x_{k - 1} + tM \equiv a_k \mod b_k$ 显然该方程是可解的得 $t$ 的值则可求 $x_k = x_{k - 1} + tM$ 经过 $n$ 次操作后即得原方程组的解

代码:(数据较大龟速乘)

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int n, M, ans, d, x, y;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
int mul(int _a, int _b, int mod, int res = 0) {for(; _b; _a = (_a + _a) % mod, _b >>= 1) if(_b & 1) res = (res + _a) % mod; return res;}
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	n = read(); M = read(); ans = read();
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		int b = read(), a = read(); a = ((a - ans) % b + b) % b;
		exgcd(M, b, d, x, y); if(a % d) {puts("-1"); return 0;}
		x = mul(x, a / d, b); ans += x * M; M = M / d * b; ans = (ans % M + M) % M;
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

乘法逆元

对于在模意义下的除法对模数 $p$ 和除数 $x$ 往往可以找到一个特殊的数 $y$ 用 $ \times y$ 代替 $\div x$ 将 $y$ 记作 $x$ 的逆元记作 $inv(x)$

通过定义: $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

求解逆元

~~这里本来有四种方法但是由于太懒所以变成了三种~~

费马小定理

只适用于模数为质数的情况这是最常用的一种因为大多数题目的模数都会设为质数(不是刻意卡的话)

费马小定理: $x^{p - 1} \equiv 1 \mod p$

故有: $x^{p - 1} \equiv x \times inv(x) \mod p$

两侧同除 $x$ 有: $inv(x) \equiv x^{p - 2} \mod p$

所以快速幂直接求 $(x^{p - 2}) \% p$ 即为 $\div x$ 模 $p$ 意义下的逆元
递推

只适用于模数为质数的情况如果要求的逆元数量很多而且连续就可以使用递推

$inv(i) = -\lfloor \frac pi \rfloor \times inv(p \% i) \% p$

正确性:

设 $p = ik + r$

有 $p \equiv 0 \mod p$

故 $ik + r \equiv 0 \mod p$

两边同乘 $inv(i)inv(r)$

有 $i \times inv(i) \times k \times inv(r) + r \times inv(r) \times inv(i) \equiv 0 \mod p$ 化简得 $k \times inv(r) + inv(i) \equiv 0 \mod p$

故 $inv(i) \equiv -k \times inv(r) \mod p$

即 $inv(i) \equiv -\lfloor \frac pi \rfloor \times inv(p \% i) \mod p$

但是是求最小正整数解加个 $p$ 调一下

即 $inv(i) = (p - \lfloor \frac pi \rfloor) \times inv(p \% i) \% p$
扩展欧几里得

模数可以不为质数

由逆元的定义 $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

把这个东西当做同余方程来解就好了

题目: 乘法逆元

这个题目适合用线性求逆元

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P3811 【模板】乘法逆元
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long 
/*--------------------------------------头文件*/
const int C = 1e6 + 7;
/*------------------------------------常量定义*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int n, p, inv[C << 2];
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/

/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	n = read(); p = read(); inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", inv[i]);
	return 0;
}

题目: 有理数取余

看一眼高精!?

高个鬼要模数干啥的

费马小定理的写法

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P2613 【模板】有理数取余
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int mod = 19260817;
/*------------------------------------常量定义*/
int a, b;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = ((x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48)) % mod; ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
int power(int _a, int _b, int res = 1) {for(; _b; _a = _a * _a % mod, _b >>= 1) if(_b & 1) res = res * _a % mod; return res;}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); printf("%lld", a * power(b, mod - 2) % mod);
	return 0;
}
//话说为什么这个代码能过啊...
//感觉数据范围会炸的可以看一眼快读
//数据里面好像并没有无解的数据点

扩展欧几里得的写法

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P2613 【模板】有理数取余
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int mod = 19260817;
/*------------------------------------常量定义*/
int a, b, d, x, y;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = ((x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48)) % mod; ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); exgcd(b, mod, d, x, y); x /= d; x = (x % mod + mod) % mod; printf("%lld", a * x % mod);
	return 0;
}

扩展欧拉定理

模 $p$ 意义下对于 $a^b$ 有

$a^b \equiv \begin{cases}a^b & b < \varphi(p) \\ a^{b\ mod\ \varphi(p) + \varphi(p)} & b \geq \varphi(p) \end{cases}$

众所周知有一个叫欧拉筛的东西虽然对这个题并没有什么用

题目: 扩展欧拉定理

很惊喜的发现 $b$ 后面跟着一大坨令人恶心的东西然后又发现直接筛欧拉函数复杂度就会爆炸但是这里只需要求一个数的欧拉函数值根据前面 $\varphi(n) = n\prod(1 - \frac 1{p_i})$ 考虑对 $n$ 质因数分解直接试除

代码

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P5091 【模板】扩展欧拉定理
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int INF = 1e14;
/*------------------------------------常量定义*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int a, b, m, phi = INF, ans = 1;
bool flag;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		if(x >= phi) flag = 1, x %= phi; ch = getchar();
	}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/
int power(int _a, int _b, int res = 1) {for(; _b; _a = _a * _a % m, _b >>= 1) if(_b & 1) res = res * _a % m; return res;}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	a = read(); m = read(); phi = m; int tmp = m;
	for(int i = 2; i * i <= m; i++) if(!(tmp % i))
	{
		phi -= phi / i;
		while(!(tmp % i)) tmp /= i;
	}
	if(tmp > 1) phi -= phi / tmp; b = read() + flag * phi;
	printf("%lld", power(a, b));
	return 0;
}

题目: 上帝与集合的正确用法(待完成)

posted @ 2021-06-19 22:03 Blank_space 阅读(516) 评论(8) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

Blank_space

数学基础 2

数学基础

前言

平衡三进制

一些符号

素数

定义

质因数分解

素数判定

筛法求素数

费马小定理

二次探测定理

约数

定义

约数的几种求法

对任意数 \(n\) 求约数个数

对任意数 \(n\) 求约数和

最大公约数与最小公倍数

最大公约数

最小公倍数

互质

欧拉函数

欧拉函数筛(咕)

欧拉定理

关于同余的一些概念

欧几里得与扩展欧几里得

欧几里得定理

裴蜀定理

扩展欧几里得

乘法逆元

扩展欧拉定理

公告

Blank_space

数学基础 2

数学基础

前言

平衡三进制

一些符号

素数

定义

质因数分解

素数判定

筛法求素数

费马小定理

二次探测定理

约数

定义

约数的几种求法

对任意数 \(n\) 求约数个数

对任意数 \(n\) 求约数和

最大公约数 与 最小公倍数

最大公约数

最小公倍数

互质

欧拉函数

欧拉函数筛(咕)

欧拉定理

关于同余的一些概念

欧几里得与扩展欧几里得

欧几里得定理

裴蜀定理

扩展欧几里得

乘法逆元

扩展欧拉定理

公告

最大公约数与最小公倍数