POJ1160:Post Office【四边形不等式优化】

——有n个村庄，要建m个邮局，使得村庄到邮局距离的总和最小。（邮局只能建在村庄里）

——DP，四边形不等式优化。

——url:http://poj.org/problem?id=1160

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具体参见毛子清的论文。

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状态转移方程

        d[ i, j ] = min{ d[ i, k - 1 ] + d[ k + 1 ][ j ] } + w[ i , j ]           i <= k <= j

时间复杂度为 O( n * n * n )。

1、如果函数 w 满足： w[ a, c ] + w[ b, d ] <= w[ b, c ] + w[ a, d ]          a < b < c < d

则说 w 满足凸四边形不等式（简称 w 为凸）。

2、如果函数 w 满足：w[ i, j ] <= w[ i", j" ]                 [ i, j ] 包含于 [ i", j" ]

则说 w 关于区间包含关系单调。

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定理一：

        如果 w 同时满足四边形不等式和区间单调关系，则 d 也满足四边形不等式；

定理二：

        定理一的条件满足时让 d[ i, j ] 取最小值的 k 为 K[ i, j ]，则 K[ i, j - 1 ] <= K[ i, j ] <= K[ i + 1, j ]；

定理三：

        w 为凸当且仅当 w[ i, j ] + w[ i + 1, j + 1 ] <= w[ i + 1, j ] + w[ i, j + 1 ]。

由定理三可以得出验证w是否为凸：

固定j算出w[i,j+1]-w[i,j]关于i的表达式，若其关于i是递减，则w为凸。同样，固定i算出w[i+1,j]-w[i,j]关于j的表达式，如果关于j递减，则w为凸。

这样每次决策范围变成 K[ i + 1, j ] 到 K[ i, j - 1 ]。

按 j - i 递减的顺序递推各个状态值，则对于每个确定的 j - i 来说，决策总量为 O( n )，故总的时间复杂度为 O( n*n )。

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分两类：

1、区间问题：s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

2、邮局问题：s[i-1，j]≤s[i,j]≤s[i,j+1]    (表示在前j个村庄建立i个邮局的最小距离和)