POJ:跳蚤

跳蚤

 

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Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

原题地址：http://poj.org/problem?id=1091

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转载：

题目大意是给定两个整数n和m，求出长度为n+1满足条件的数列data的个数，数列的要求下：
1）1<=data[i]<=m,for1<=i<=n
2)data[n+1]=m;
3）这个n+1个数满足：存在x1,x2,...,xn,xn+1,满足x1*data[1]+x2*data[2]+...+x(n+1)*data[n+1]=1；
根据数论的知识，若存在这样的x1,x2...xn+1,则data[1],data[2]...data[n+1]的最大公约数为1

证明：若data[1],data[2]...data[n+1]满足题意，并且存在最大公约数d（为整数）;则x1*data[1]+x2*data[2]+...+x(n+1)*data[n+1]的和是d的整数倍，必不等于1

我看到这里的时候还是不明白，这有什么用。。。

其实举个例子就明白了，例如:n=2,m=360 
360=3^2*2^3*5  所有不满足条件的数列，最大公约数是360质因子的乘积，只要将这些组合去掉，就是要求的答案

具体解题步骤如下：
1、求出满m的所有质因子,存入数组num
2、求出总的序列个数吗m^n
3、设t(k)表示数列最大公约数为（k个质因子乘积）的数列的个数

f=m^n-t(1)+t(2)-t(3)+..(-1)^k*t(k);
答案 = (m ^ n) - （有公因数2的n元组）- （有公因数3的n元组）- （有公因数5的n元组）+ （有公因数2，3的n元组） +（有公因数2，5的n元组） + （有公因数3，5的n元组）- （有公因数2，3，5的n元组）。这个比公式形象些
有公因数d的n元组，每个位置上有 (m/d)个选择（1 ~ m里面有m/d个d的倍数），根据乘法原理，可以得出有公因数d的n元组有 (m/d)^n 个。

#include<stdio.h>
__int64 n,m,i,top;
__int64 temp,ans,sum;
__int64 factor[20],mulfactor[20];
 void find_factor(__int64 x)          //这段很精妙！！！！！
 {
    __int64 i;
    top=0;
    for (i=2;i*i<=x;i++)
        if (x%i==0)
        {
            while (x%i==0)
                x=x/i;
            top++;
            factor[top]=i;
        }
    if (x!=1)
        factor[++top]=x;            //x一直在变小！！！！
 }
__int64 pow(__int64 x,__int64 y)
{
    __int64 temp;
    __int64 i;
    temp=1;
    for (i=1;i<=y;i++)
        temp=temp*x;
    return temp;
}
 void find(__int64 loc,__int64 now,__int64 num)
{
    __int64 i;
    if (now==num)
    {
        __int64 temp=m;
        for (i=1;i<=num;i++)
            temp=temp/mulfactor[i];
        sum+=pow(temp,n);
    }
    else
        for (i=loc;i<=top;i++)
        {
            mulfactor[now+1]=factor[i];
            find(i+1,now+1,num);
        }

}
 int main()
{
    scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
    find_factor(m);
    ans=pow(m,n);
    temp=1;
    for (i=1;i<=top;i++)
    {
        sum=0;
        find(1,0,i);
        temp*=-1;
        ans+=temp*sum;
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}