二项式系数相关恒等式的记录与复习

二项式系数相关的恒等式太多了，学了就忘，为了加深记忆以及复习，就把自己知道的所有恒等式都写在这里（大雾

暂时不扩展到广义二项式系数

基本恒等式

\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

\[\binom{n}{0}=1 \]

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m} \]

一些重要和式

二项式定理

\[\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}=(x+y)^n \]

下面是关于二项式定理的一些推论

\[(1+1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{n}{k}=2^n \]

\[(1-1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}(-1)^k\binom{n}{k}=[n=0] \]

\[(x+1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}x^k\binom{n}{k} \]

上指标求和

\[\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1} \]

平行求和

\[\sum\limits_{k \le n}\binom{m+k}{k}=\binom{n+m+1}{n} \]

范德蒙恒等式

\[\sum\limits_{0 \le k \le s}\binom{n}{k}\binom{m}{s-k}=\binom{n+m}{s} \]

当 \(n=m\) 时有

\[\sum\limits_{0 \le k \le s}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{s} \]

不知道叫什么#1

\[\sum\limits_{0 \le k \le n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1} \]

不知道叫什么#2

\[\sum\limits_{0 \le k \le n}k^2\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2} \]

不知道叫什么#3

\[\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{n-k}{k}=F_{n+1} \]

\(F_n\) 即斐波那契数列的第 \(n\) 项

一些小trick

吸收系数技巧

\[\binom{n}{m}=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1} \]

吸收指标技巧

\[\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \]

什么时候想到了新的再补（（