CF1364C 【Ehab and Prefix MEXs】

题目翻译

刚开始给你一个空的数组 \(b\ (b_i \le 10^6)\) , 每次可以将任意一个数填入该数组中 , 但是必须保证第 \(i\) 次放完后该数组的 \(\text{mex}\) 为 \(a_i \ (a_i\le 10^5)\)。请你求出放数字的顺序。若没有合法的顺序就输出 -1 。

数据保证 \(a\) 数组单调上升。

一个数组的 \(mex\) 即在这个数组中最小的没有出现过的自然数。

思路

CF 的传统构造题 , 其实很好想。

显然，如果 \(a_i>=i\) 那显然是没有合法的顺序的，因为如果要使第 \(i\) 次的 \(\text{mex}=a_i\) , 就至少要放 \(a_i\) 个数 , 而因为 \(a_i>=i\) , 能放数的位置就会小于 \(a_i\) , 故一定不合法。

那么我们可以将 \(b_i\) 分成两种：

1. 放置对 \(a_i\) 有影响的数字。
2. 放置对 \(a_i\) 暂时没有影响的数字。

因为有影响的数字定下来了就无法改变，那么我们可以记录一个指针 \(now\) ，指向暂时没有影响的 \(a_i\) 中 \(i\) 最小的元素。

显然，所填的数一定也是单调递增的，所以还可以在记录一个标记 \(num\) 表示现在已经填到了数字几。

这样的话我们每读到一个 \(a_i\) ，就要判断 \(num\) 是否已经到达了 \(a_i-1\) ，如果没有就需要将从 \(num \sim a_i-1\) 中的数全部填上。

因为越 \(i\) 越小，留的余地就越大，所以每当需要填数时，就把他填在 \(now\) 所指向的位置，并将这个 \(b_i\) 纳入对 \(a_i\) 有影响的那一类中。

但是需要注意的点是，当 \(a_i\) 这个数首次出现时，\(b_i\) 一定是对 \(a_i\) 有影响的，因为第 \(i\) 次填数导致了 \(a_i\) 的变化。

而那些直到最后也没有对 \(a_i\) 造成影响的 \(b_i\) ，我们可以把他们全部设为 \(10^6\) ，因为 \(a_i \le 10^5\) 而 \(b_i \le 10^6\)，所以填 \(10^6\)。一定不会对 \(a_i\) 造成影响。

Code

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int read()
{
	int ans=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();}
	return ans*f;
}
 
const int N=1e5+5;
int n,a[N],b[N],have,num,now=1;
 
int main()
{
	memset(b,-1,sizeof(b));
	// 将 b 数组全部设为暂时无影响 
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(a[i]>i)
		// 若 a_i > i 则一定无解 
		{
			printf("-1\n");
			return 0;
		}
		for(;num<=a[i]-1;++num)
		// 将 num ~ a_i-1 里的数全部填上 
		{
			if(b[i]==-1)
			// 如果 a_i 首次出现，则 b_i 一定有影响 
				b[i]=num;
			else
			{
				while(b[now]!=-1)
				// 找到暂时没有影响中 i 最小的位置 
					now++;
				// 将这个位置填上； 
				b[now]=num;
			}
		}
		num=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(b[i]==-1) printf("%d ",1000000); // 最后也没有影响的直接输出10^6 
		else printf("%d ",b[i]);
	return 0;
}