CF1349A 【Orac and LCM】

题目大意

给你一个长度为 \(n\) 的集合 \(\{a_1 , a_2\;...\;a_n\}\)，请你求出 \(\gcd\{ \text{lcm}(a_i,a_j)\;|\;i<j \}\)

思路

众所周知，\(\text{lcm}(a,b)=\dfrac{a\times b}{\gcd(a,b)}\)

所以原式可以化为 \(\gcd\{ \dfrac{a_i\times a_j}{\gcd(a_i,a_j)}\;|\;i < j \}\)

把 \(\gcd(a_i,a_j)\) 提出可得 \(\dfrac{\gcd\{ a_i\times a_j\;|\;i < j \}}{\gcd(a_1,a_2 \;...\;a_n)}\)

\(\gcd(a_1,a_2 \;...\;a_n)\) 可以线性求出，那么问题就转化成了如何快速求 \(\gcd\{ a_i\times a_j\;|\;i < j \}\)

设我们每次枚举到第 \(i\) 个数 \(a_i\) 为 \(x\)，那么可以将 \(\gcd\{ x\times a_j\;|\;i < j \}\) 中的 \(x\) 提出，就可以得到 \(x \times \gcd(a_{i+1},a_{i+2}\;...\;a_{n})\)。

可以预处理出一个后缀 \(\gcd\) ，然后枚举 \(a_i\) 计算答案即可。

时间复杂度：常数极小的 \(\text{O}(n \log a_{max})\)

记得开 \(\text{long long}\) （（

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long

using namespace std;

LL read()
{
	LL ans=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();}
	return ans*f;
}

const LL N=1e5+5;
LL n,a[N],b[N],ans;

int main()
{
	n=read();
	for(LL i=1;i<=n;++i)
		a[i]=read();
	for(LL i=n;i>=1;--i)
    // 预处理后缀 gcd
		b[i]=__gcd(b[i+1],a[i]);
	for(LL i=1;i<=n;++i)
    // 计算 gcd { ai , aj | i < j }
		ans=__gcd(ans,a[i]*b[i+1]);
    // 答案就是 gcd { ai , aj | i < j } / gcd ( a1 , a2 ... an )
	printf("%lld\n",ans/b[1]);
	return 0;
}