I. 基本思想

前言

基本思想能帮助我们发现问题的一些一般性规律并加以分类，不至于让它们形成一盘散沙。
从一般性的规律中，我们能利用起自己的经验，或是发现更多的规律，进而形成一套有效的方法。
然而，光有基本思想几乎不能帮助我们解决问题。问题的特殊性才是解题中更需要关注的。
因此，下文基本是泛谈，具体的细节技巧还是要深入到更为细致的分类中去。

问题类型

OI中遇到的问题类型，大多可以归入如下几种：模拟、最优化、计数、构造。
每种问题有其特点和通常的解决手段。例如：
最优化题往往无需对每个解进行不重不漏的统计，而可以舍去一定不会成为最优解的解，或是重复统计某一种解。
计数题可以通过合适的变形、适当的枚举顺序以及技巧性的计算方法（如容斥）进行优化。
因此，对问题的适当分类，寻找、类比一类问题的常用解决方法是十分有效的。

枚举

枚举时，我们通常关心：枚举的顺序？枚举某一个量后是否能快速计算？是否具有独立性，从而可以分开枚举后组合？
枚举的技巧：通过问题的性质，减少枚举量；通过增加枚举量，优化问题的结构。

分治

我们可以借助常见的分治方法来探索分治的作用和技巧。
“猫树分治”：将需要统计的信息，转化成经过某一个中心的信息。
点分治：将相对复杂的结构，转化成简单的结构。
cdq分治：将一个维度的影响，转化成01的比较。
线段树分治：通过分治树的结构，正确处理“时间”，在叶子节点完成问题。
各有所长，但也有共性：对于一个庞大的问题，通过适当的分类（往往是分成两半），批量处理具有共同特点的一部分问题，然后递归解决子问题。

有根树形结构

合并、分裂（分治）、互不相交等等词汇，会构成一个有根树的模样。
在其节点上维护和储存信息，可以将静态的分治方法在线化。
一些看似不相关的东西可能因此变得有联系，例如：启发式合并，在合并树上无非是dsu on tree（链分治）。

二分、单调性的利用

具有单调性的问题可以大幅简化最优化过程中的决策。二分是利用单调性的一个常见方法，双指针也是。
除此之外，凸性也是一个常见的性质。借助几何直观，它们的利用方法会更加显然地浮现。