q-analog 初探

q-analog 相关的东西常以各种意想不到的方式出现在一些问题中。本篇与其说是它的学习笔记，不如说是某些时刻遇到它相关的问题时的记录。

定义1 q模拟（q-analog）：定义一个自然数 \(n\) 的q模拟为 \(1+q^1+q^2+\ldots+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}\)，记为 \([n]_q\)。

为什么说是模拟呢，因为 \(\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q=n\)。后文的很多恒等式在 \(q=1\) 时退化成一些常见的恒等式，可能就是因为这个吧。

另外，值得注意的是，这里的 \(q\) 可以看作是一个变量，则 \([n]_q\) 是关于 \(q\) 的多项式。这一点在后文组合意义中非常有用。

定义2 q阶乘（q-factorial）：定义一个自然数 \(n\) 的q阶乘为 \(\prod_{i=1}^n [i]_q\)，记为 \([n]_q!\)。

这个东西就有组合意义了。我们知道 \(n\) 阶排列逆序对的生成函数就是 \(\sum_{p\in S_n}x^{inv(p)}=\prod_{i=0}^n(1+x+x^2\cdots x^i)=[n]_x!\)。考虑从 \(i-1\) 阶排列加一个元素变成 \(i\) 阶排列时，这个元素对逆序对数的贡献在 \([0,i)\) 选。

定义3 q组合（q-binomial）：定义 \(\dbinom{n}{m}_q=\dfrac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}\)。

它有一个组合意义是，多重集 \(\{0^m,1^{n-m}\}\) 全排列逆序对的生成函数，即 \(\sum_{p\in S_{m,n-m}}\ q^{inv(p)}=\dbinom{n}{m}_q\)。

和组合数类似的定义使得它具有一些和组合数类似的性质。列举一些。

对称性：

\[\dbinom{n}{m}_q=\dbinom{n}{n-m}_q \]

递推式：

\[\dbinom{n}{m}_q=\dbinom{n-1}{m-1}_q+q^m\dbinom{n-1}{m}_q=q^{n-m}\dbinom{n-1}{m-1}_q+\dbinom{n-1}{m}_q \]

q-二项式定理：（博主目前还不知道可不可以定义q-广义二项式系数和q-广义二项式定理qwq）

\[\prod_{i=0}^{n-1}(1+xq^i)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}_qx^iq^{\tbinom i 2} \]

q-范德蒙德卷积：

\[\dbinom{n+m}{k}_q=\sum_{i=0}^kq^{(n-i)(k-i)}\dbinom{n}{i}_q\dbinom{m}{k-i}_q \]

q-上指标求和：

\[\dbinom{n+m+1}{m+1}_q=\sum_{i=0}^nq^i\dbinom{m+i}{m}_q \]

发现这些东西性质都和组合数极为相似，就是暂且不知道有什么应用。

但光是这些，应该就可以解决一小些问题了。可以看出，q-阶乘的定义和逆序数关系密切，所以它可以用来表示一些组合对象的逆序数的生成函数。

例如神秘的q-卡特兰数 \(\dfrac{\tbinom{2n}{n}_q}{[n+1]_q}=\sum_{p\in W_n}q^{inv(p)}\)，其中 \(W_n\) 代表长为 \(2n\) 的，任一前缀0的个数总比1的个数多的01序列组成的集合。

还比如，如果有一个 \(n\) 维向量空间定义在一个大小为 \(q\) 的有限域上，则其 \(m\) 维子空间个数即为 \(\dbinom{n}{m}_q=\dfrac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}\)。

了解这个主要可以注意到它的递推性质，就可以较快速的计算某些问题的答案了。

update:翻到了一篇令人震撼的qwaszx's blog，瞬间觉得自己才疏学浅……