曲率的理解

曲率

曲率 是衡量弯曲的程度。

曲率的直观感受

方便引入曲率的概念，先从两个特殊的例子来直观上感受曲率

直线

对直线来说，没有弯曲的地方，显然曲率到处都是0。

圆

对圆来说，任何地方的曲率都是相同的，所以圆的曲率是个常数。直观上来看，半径大的圆比半径小的圆更"平直"一些，那么大圆的曲率相比来说就要小一些。

怎么量化圆的曲率呢？

假设圆的半径为R，弧长为$$2 \pi R$$，那么曲率=$$\frac{2 \pi}{2 \pi R} = \frac{1}{R}$$ 。

一般化推导

对圆的局部而言，圆的弯曲程度 可以用 切线斜角的变化 与 弧长变化 之商 来表示。

举个例子，

如上图所示，从P点到Q点，切线角的变化量为$$\angle POQ$$，弧长的变化为$$\widehat{PQ}$$，所以曲率=$$\frac{\angle POQ}{\widehat{PQ}}=\frac{\theta}{\theta*R}=\frac{1}{R}$$。

对一般曲线而言，

如上图所示，曲线从P点到Q点，切线角的变化量为$$\theta​$$，将其除以弧长的变化量$$\widehat{PQ}​$$，然后让Q逼近P点，

极限值 = $$\lim_{Q \to P} \frac{\theta}{\widehat{PQ}}$$，即可得到曲线在P点的曲率。

从这个推到也可以看出，直线的曲率为0，圆的曲率为其半径的倒数。

最后，来两张比较好的图