[转载]扩展欧几里得算法

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扩展的欧几里德算法是求如a * x + b * y = (a, b) 这样的整数解的,可以仿照欧几里德算法得出答案。程序如下:

/***扩展的欧几里德算法a*x + b*y = Gcd(a,b)的一组整数解,结果存在x,y中***/
void extend_gcd(long long a, long long b, long long& x, long long &y) {
if(b == 0) {
x
= 1;
y
= 0;
return;
}
extend_gcd(b, a
% b, x, y);
long long tmp = x;
x
= y;
y
= tmp - a / b * y;
}

上述程序只是得到了一组解,很显然解是不唯一的:

x增加b, y减少a一定是原方程的一组解:a *  (x + b)  + b * (y - a) = a * x + b * y = (a, b)。

然而在应用上,往往并不是如此简单,很多时候会求解不定方程a * x + b * y = n。这个时候还是应用上面的算法:

  1. 求(a,b), 设c = (a,b),如果! c|n,则不存在整数解。因为将上式左右两边都除以c,可以知道,左边为整数,右边为非整数,故矛盾。
  2. 将左右两边同时除以c,设得到新的方程为a' * x + b' * y = n',应用上述算法求a' * x + b' * y = 1的解(由第一步知道(a',b') = 1)。设结果为x', y'。
  3. x = x' * n' , y = y' * n'是方程a * x + b * y = n。这个比较好理解,将a' * x + b' * y = 1两边同时扩大n'倍就行了。
  4. x = x' * n' + t * b, y = y' * n' - t * a(t为整数)是原方程a * x + b * y = n的所有解。
posted @ 2011-04-21 00:22  wwwwwwwww11we  阅读(166)  评论(0编辑  收藏  举报