算法学习Day2之背包算法2
算法学习Day2之背包算法2
一、引言：每天一个不可能了，哭。没时间。这次主题记录一下完全背包算法，先继续0-1背包优化，再完全背包，和其优化。
首先列一下主要参考资料：转载：
（1）百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98/2416931?fr=aladdin
（2）https://www.cnblogs.com/yun-an/p/11037618.html
（3）https://segmentfault.com/a/1190000012829866
（4）https://blog.csdn.net/liusuangeng/article/details/38374405
二、0-1背包算法的优化
首先0-1基础的状态转移方程为：
- j<w，dp[i][j] = dp[i-1][j] //背包装不下该物品，最大价值不变
- j>=w, dp[i][j] = max{ dp[i-1][j-list[i].w] + v, dp[i-1][j] } //和不放入该物品时同样达到该体积的最大价值比较
三、优化方法：
观察状态转移方程的特点，我们发现dp[i][j]的转移只与dp[i-1][j-list[i].w]和dp[i-1][j]有关，即仅与二维数组本行的上一行有关。因此，我们可以将二维数组优化为一维数组。不过这里要注意两点：1.j<w的状态转移方程不再需要了。2.为保证每个物品只能使用一次，我们倒序遍历所有j的值，这样在更新dp[j]的时候，dp[j-list[i].w]的值尚未被修改，就不会出现一个物品重复使用的问题。这是（2）的 描述。我看完优点不懂，为啥仅与二维数组本行的上一行有关就可以优化为一维数组。
继续查找资料。详见（4），方法为：滚动数组。我的理解，因为现在存储的值i的意义为存储每个之前的状态，但是当前并不需要存储之前所有的。只要存储前一个的，然后用现在去代替它。
一维优化后的状态转移方程为：
dp[j] = max{ dp[j-list[i].w] + v, dp[j] }
四、示例代码，还是贴一下：
#include<cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Thing
{
int w;
int v;
}list[101];
int f[1001];
int main()
{
int s, n;//背包容量和物品总数
while (cin >> s >> n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> list[i].w >> list[i].v;
}
for (int i = 0; i <= s; i++) f[i] = 0;//初始化二维数组
for (int i = 1; i <= n; i++)//循环每个物品，执行状态转移方程
{
for (int j = s; j >= list[i].w; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - list[i].w] + list[i].v);
}
}
printf("%d\n", f[s]);
}
return 0;
}
五、完全背包算法问题描述：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。（百度百科）我的理解：
六、问题解决思路：
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。（基本状态转移方程的思路都一样），但是百度百科的基本状态转移方程，看的我莫名奇妙，推荐看（3）的2.2.挺易懂的。
我的理解：与0-1背包相比，多了一层对于每个物品放几次达到最优的问题，所以其状态转移方程区别在于选择放物品时，加个变量为放多少个和对应加多少个价值。
七、完全背包的基本状态转移方程：
- j<w，dp[i][j] = dp[i-1][j] //背包装不下该物品，最大价值不变
- j>=w, dp[i][j] = max{ dp[i-1][j-k*list[i].w] + k*v, dp[i-1][j] } //和不放入该物品时同样达到该体积的最大价值比较
由状态转移方程变为dp算法，我会了。就不想写了。
八、完全背包优化：O(nW)优化
我的理解：对于某个物品i，还是使用最初的动态规划方法来进行分析。
对于0-1背包是在选择放时，使用前一个状态的中得到j-w的体积下的最优解。
而完全背包为：选择放时，因为可以继续放当前物品i，所以寻找的是在有当前物品的状态下得到j-w的体积下的最优解。
所以完全背包的状态转移方程为：
- j<w，dp[i][j] = dp[i-1][j] //背包装不下该物品，最大价值不变
- j>=w, dp[i][j] = max{ dp[i][j-list[i].w] + v, dp[i-1][j] } //和不放入该物品时同样达到该体积的最大价值比较
所以0-1背包的状态转移方程为：
- j<w，dp[i][j] = dp[i-1][j] //背包装不下该物品，最大价值不变
- j>=w, dp[i][j] = max{ dp[i-1][j-list[i].w] + v, dp[i-1][j] } //和不放入该物品时同样达到该体积的最大价值比较
将这两个都列出来，好对比。
继续优化：二维改一维
思路和本文开头一样，所以就不写优化步骤了。
状态转移方程为：
dp[j] = max{ dp[j-list[i].w] + v, dp[j] }
好了，因为时间问题。代码就不想贴了。最重要的是状态转移方程的得到，和状态转移方程用dp方法实现。
