《3D数学基础：图形与游戏开发》2.第2章 笛卡尔坐标系统
目录
2.1 1D 数学
2.1.1 数学概念：自然数，整数，有理数，实数，以及它们之间的关系
- 人们为了方便 “数羊” 而发明了自然数：“一头羊” 就对应数字 1，“两头羊”、“三头羊” 以此类推。同时，确定了 “零” 的概念（即没有羊）
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如果能卖掉一个你不存在的羊，就实际上是有 “负一”只羊，这也产生了整数：由上面的自然数和它们的相反数（负数）组成
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如果一个人很穷，那么这个人可能只买得起半只羊，甚至四分之一只羊，于是产生了分数的概念：由一个整数除以另一个整数形成，如 2/3，111/27。这些数称为有理数，也就是数轴上整数之间的空白。同时发明了小数点表示分数，如 3.145 代替 31415/10000
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日常生活中的某些数是无法用上面的有理数表示的，比如圆的周长与直径的比，也就是 \(\pi\) ，——小数点后需要无穷多位，由此就产生了实数。实数包含有理数和形如 \(\pi\) 这样的无理数
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研究自然数和整数的领域称为离散数学，研究实数领域的称作连续数学
2.1.2 编程语言中short、int、float、double几种数据类型之间的联系
- 3D 虚拟世界的设计者需要处理的四一系列离散的和有限的事物，可以使用编程语言中提供的多种数据类型来描述 3D 虚拟世界，包括 short，int、float，double
- short：16位整数，可以表示 65536 个不同的数值
- int：32位整数，可以表示 4,294,967,296 个不同的数值
- float：32位有理数，可以表示 4,29,4,967,296 个数值
- double：64位有理数
- 以上这些数据类型都是离散的
- 为虚拟世界选择度量单位的关键是选择离散的精度
2.1.3 计算机图形学第一准则
- 近似原则如果它看上去是对的它就是对的
2.2 2D 笛卡尔数学
2.2.1 2D 笛卡尔坐标系
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每个 2D 笛卡尔坐标系都有一个特殊的点，称为原点，是坐标系的中心
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每个 2D 笛卡尔坐标系都有两条过原点的直线向两边无限延伸，称为“轴”
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习惯/标准形式是，水平的轴称为 x 轴，向右为 x 轴的正方向，垂直的轴称为 y 轴，向上为 y 轴正方向
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可以根据自己的需要来决定坐标轴的指向，也可以决定轴的正方向
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2D 中有 8 种可能的轴的指向：
- 无论如何选择 x 轴和 y 轴的方向，总能通过旋转使得 x 轴向右为正，y 轴向上为正，所以所有的 2D 坐标系都是“等价”的
2.2.2 用笛卡尔坐标（x，y）定位 2D 空间内的点
- 为了在笛卡尔坐标系中定位点，引入了笛卡尔坐标的概念。
- 在 2D 平面中，两个数（x，y）可以定位一个点，坐标的每个分量都表明了该点与原点之间的距离和方位：每个分量都是到相应轴的有符号距离
- “有符号距离” 指的是在某个方向上距离为正，在相反方向上为负
2.3 从 2D 到 3D
2.3.1 第三个维度，第三个轴
- 为了表示三维坐标系，引入第三个轴：z 轴。一般情况下，这三个轴相互垂直，即每个轴垂直于其他两个轴
- 在 2D 平面中，指定 x 轴向右为正，y 轴向上为正为标准形式，在 3D 中没有标准形式
2.3.2 在 3D 笛卡尔坐标系中定位点
- 在 3D 中定位一个点需要3个数：x，y 和 z，分别代表该点到 yz，xz 和 xy 平面的有符号距离
2.3.3 左手坐标系与右手坐标系
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无论任意 2D 坐标系，总能使其变换为标准形式，所以所有的 2D 坐标系都是 “等价” 的
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推广至 3D坐标系中是错误的：通过旋转只能使得两个轴和目标坐标系相同，第三个轴总是和目标方向相反
- 原因在于，3D 坐标系之间不一定是等价的，存在着两种完全不同的 3D 坐标系：左手坐标系和右手坐标系
- 如果同属左手或右手坐标系，那么可以通过旋转来重合，否则不可以
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判断坐标系的类型：右手螺旋定则即可
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左、右手坐标系可以相互转换，只需要翻转一个轴的符号即可。如果同时翻转两个轴的符号，结果和不翻转是一样的
2.3.4 本书的主要约定
- 本书约定：使用左手坐标系，+x，+y，+z 分别指向右方、上方、前方
- 当 “右” 和 “前” 不明确的时候（如：对于世界坐标系），以 +x 表示向 “东”，+z 表示向 “北”
