复习 - 斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence）

前言： 斐波那契数列是最基础最常见的了，但是隔很久不仅是对语言，对这个也开始生疏了。这里做一次复习并用几种常用语言来实现。

又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。——摘自《百度百科》

第一种方法使用的是经典的递归算法

最后的结果为：

1 1 2 3 5 8 13 21 34

go 实现

package main

import . "fmt"

func fibonacci(n int) int {
	if n < 2 {
		return n
	}
	return fibonacci(n-2) + fibonacci(n-1)
}

func main() {
	var i int
	for i = 0; i < 10; i++ {
		Printf("%d\t", fibonacci(i))
	}
}

使用闭包，匿名函数作为返回值的算法实现。

package main

import . "log"

func main() {
	f := fibonacci()
	var i int
	for i = 1; i < 10; i++ {
		Printf("NO.%d = %d\t", i, f())
	}
}

func fibonacci() func() int {
	x, y := 0, 1
	return func() int {
		y = x + y
		return y
	}
}

python 实现

递推法：

def fibonacci(i):
    if i == 1 or i == 2:
        return 1
    return fibonacci(i-2) + fibonacci(i-1)


for i in range(1, 10):
    print(fibonacci(i), end=' ')

下面利用闭包，但这种方法每次都需要计算一项斐波那契数列的值，所以他的时间复杂度是 O(n)。

def fibonacci():
    x, y = 0, 1

    def sum():
        nonlocal x, y
        temp = x + y
        x, y = y, temp
        return temp

    return sum


fib = fibonacci()

for i in range(1, 10):
    print(fib(), end=' ')

学习一下：矩阵乘法是一种预处理斐波那契数列的方法，它可以在 O(log n) 的时间内计算任意项的值。

def matrix_multiply(a, b):
    c = [[0, 0], [0, 0]]
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            for k in range(2):
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c

def matrix_power(matrix, n):
    if n == 1:
        return matrix
    elif n % 2 == 0:
        return matrix_power(matrix_multiply(matrix, matrix), n//2)
    else:
        return matrix_multiply(matrix, matrix_power(matrix, n-1))

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        matrix = [[1, 1], [1, 0]]
        result = matrix_power(matrix, n-1)
        return result[0][0]

for i in range(10):
    print(fibonacci(i), end=' ')

解释：

首先定义了一个函数 matrix_multiply接受两个 2x2 的矩阵作为参数，并返回它们的乘积。定义了一个 2x2 的矩阵 c，值初始化为 0。然后使用三层循环来遍历每一个元素。其中，第一层循环遍历矩阵 a 和 c 的行，第二层循环遍历矩阵 b 的列，第三层循环遍历矩阵 a 的列和矩阵 b 的行。每次循环将矩阵 a 和 b 的对应元素相乘，并将结果累加到矩阵 c 的对应元素上。最后，返回矩阵 c。
还定义了一个函数 matrix_power，它接受一个 2x2 的矩阵和一个整数 n 作为参数，并返回矩阵的 n 次方。

其他语言的基本实现：

Java 实现

package com.study.bk;

public class Fibonacci {
	
	public static int fibonacci(int i) {
		if (i == 1 || i == 2) {
			return 1;
		}
		return fibonacci(i-2) + fibonacci(i-1);
	}

	public static void main(String[] args) {
		for (int i = 1; i < 10; i++) {
			System.out.print(fibonacci(i) + " ");	
		}
	}
}

C 实现

#include "stdio.h"

int fibonacci(int i){
    if (i == 1 || i == 2)
        return 1;
    return fibonacci(i-2) + fibonacci(i-1);
}

int main(){
  for (int i = 1; i < 10; i++){
      printf("%d ", fibonacci(i));
  }
    return 0;
}