从SVD到推荐系统

最近在学习推荐系统(Recommender System)，跟大部分人一样，我也是从《推荐系统实践》学起，同时也想跟学机器学习模型时一样使用几个开源的python库玩玩。于是找到了surprise，挺新的，代码没有sklearn那么臃肿，我能看的下去，于是就开始了自己不断的挖坑。

这篇文章介绍基于SVD的矩阵分解推荐预测模型。一开始我还挺纳闷，SVD不是降维的方法嘛？为什么可以用到推荐系统呢？研究后，实则异曲同工。

有关SVD推导可以看这篇文章：降维方法PCA与SVD的联系与区别

了解推荐系统的人一定会知道协同过滤算法！

协同过滤算法主要分为两类，一类是基于领域的方法(neighborhood methods)，另一类是隐语义模型(latent factor models)，后者一个最成功的实现就是矩阵分解(matrix factorization)，矩阵分解我们这篇文章使用的方法就是SVD(奇异值分解)

提问❓：SVD在推荐系统中到底在什么位置呢？

举手🙋‍♂️：推荐系统 -> 协同过滤算法 -> 隐语义模型 -> 矩阵分解 -> SVD

一、Singular Value Decomposition（SVD）

Guide

SVD的思想在推荐系统中用得很巧妙，我们借助下面这个表来理解：

上图有三幅小图，我们来按顺序看（图中的数字请不要纠结于具体数值）。左中图每行代表一个人，每列代表一部电影。每一个数字对应一个人给一部电影的评分，如李四的给《我不是药神》评分为5，给《变形金刚4》的评分为1。

假设我们的目的是给图中的李四推荐电影，你只知道他对这三部电影的评分。这似乎很难，但是设想如果我们知道李四喜欢电影的类型，这样是不是就更好推荐了！我们的信息量有限，但是并不是少到离谱，所以能不能通过仅有的信息推测出李四喜欢电影的类型呢？

SVD就是做这个事的，继续看右边的两个图。我们现在定义两个电影类型（features：剧情、动画），右上图的表（矩阵）给出了每个电影对应类型的程度（如：《我不是药神》更属于剧情片，不属于动画），右下图的表中的数字给出了每个人喜欢每种电影类型的程度（李四更喜欢剧情片，不喜欢动画）。

那么光给出这两个表（矩阵）有什么用呢？我们把右上表中的第二列（col=《我不是药神》）和第三列（col=《变形金刚4》）分别与右下表的第二列（col=李四）对应元素相乘后相加（即点乘），得到的结果分别是（55 + -40=25）和（-25 + 50=-10），这两个分数的物理意义分别是李四喜欢《我不是药神》和李四喜欢《变形金钢4》的程度，可以看出李四更喜欢《我不是药神》。那么我们把右上表的每列和右下表的每列各元素相乘后相加，是不是可以得到每个人喜欢每部片子的程度呢？这不就是我们左边Rating matirx图表示的意思嘛！

现在我们给一部新电影《环太平洋》，给定他的类型指标（剧情：-1，动画：4），我们想知道李四喜欢这部片的程度。仍然依据上面的方法（即：李四喜欢剧情片的程度5✖️《环太平洋》是剧情片的程度-1 ➕李四喜欢动画的程度0✖️《环太平洋》是动画的程度4 = -5）。好吧，结果看来李四不喜欢这部片。

但是我们现在只有用户评分的数据呀，相当于只有左边的那个稀疏矩阵怎么办？一个字，学！🎓

Math

我们把评分矩阵（Rating Matrix）计作V， \(V\in R^{n\times m}\)，那么V的每一行\(V_{i}\)代表一个人的所有评分，每一列\(V_{j}\)代表某一部电影所有人的评分，\(V_{ij}\)代表某个人i对某部电影j的评分。对应电影推荐来说，V必定是稀疏的，因为电影数量（列的数目）是巨大的，V中必定有很多很多项为null。

我们接下来看这两个矩阵U（Users Features Matrix ）和M（Movie Features Matrix）。U为用户对特征的偏好程度矩阵，M为电影对特征的拥有程度矩阵。\(U\in R^{f\times n}\)的每一行表示用户，每一列表示一个特征，它们的值表示用户与某一特征的相关性，值越大，表明特征越明显。矩阵\(M\in R^{f\times m}\)，的每一行表示电影，每一列表示电影与特征的关联。

那么U和M怎么得到呢？🤔️

还记得SVD的公式嘛？\(V=UM^{T}\)，其实公式右边的中间还有个对角矩阵S，我们可以把他看成跟U相乘合并（The S matrix is left blended into the feature vectors, so only U and M remain）。其实，U和M这两个矩阵是通过学习的方式得到的，而不是直接做矩阵分解。我们定义如下的损失函数：

\(E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}I_{ij}(V_{ij} - p(U_i,M_j))^2+\frac{k_u}{2}\sum_{i=1}^{n}\lVert U_i \rVert^2 + \frac{k_m}{2}\sum_{j=1}^{m}\lVert M_j \rVert^2 \tag{1}\)

这里的评价指标metric采用的是RMSE。其中\(p(U_i,M_j)\)代表用户i对电影j的预测，最常用的预测函数p就是点乘，即 \(p(U_i,M_j)=U_{i}^{T}M_{j}\)。式(1)中的 \(I\in \{0,1\}^{n\times m}\)，为一个指示器，指示相应位置是否有评分，有评分为1，没有为0。等式右边最后两项是正则化项，防止过拟合，这里不过多展开。

到这里，已经变成了一个机器学习的常见问题了，即最小化损失函数，用得最多的优化方法就是梯度下降，当然还有很多梯度下降的变体。下图是简单的梯度下降算法📖。

其中，\(\mu\)为学习率learning rate。且：

\(-\nabla _{U} =-\frac{\partial E}{\partial U_i} = \sum_{j=1}^{M}I_{ij}((V_{ij}-p(U_i,M_j))M_j) - k_uU_i \tag{2}\)
\(-\nabla _{M} =-\frac{\partial E}{\partial M_j} = \sum_{i=1}^{n}I_{ij}((V_{ij}-p(U_i,M_j))U_i) - k_mM_j \tag{3}\)

Improvements(adding bias)

可是，无奈的是🤷‍♂️，我们考虑这样一个事实：

有的人评价电影的时候喜欢打高分，比如我自己，在豆瓣上，就算很一般的电影我也会打3分左右，因为我貌似不是能做出打一分这种残忍的事的人😂。而有的人很严格，跟我正好相反。对于不同电影来说，比如姜文的《邪不压正》，我可能智商不高，实在觉得不好看，但是由于豆瓣评分颇高，为了掩饰我的看不懂，我还是打了4分。所以，分数这个事情有很强的主观性。即：

typical collaborative filtering data exhibits large systematic tendencies for some users to give higher ratings than others, and for some items to receive higher ratings than others.

所以，如果仅仅用 \(p(U_i,M_j)=U_{i}^{T}M_{j}\) 进行评分的预测就不那么明智了。在这里，我们考虑根据个人的口味和电影的级别来给予评分过程加一个偏置，即：(这里换一种形式：\(\mathbf{q}_i^T\mathbf{p}_u\)与\(U_{i}^{T}M_{j}\)等价)

\(\hat{r}_{ui} = \mu + b_i + b_u + \mathbf{q}_i^T\mathbf{p}_u \tag{4}\)

\(\mu\)：训练集中所有记录的评分的全局平均数。在不同网站中，因为网站定位和销售的物品不同，网站的整体评分分布也会显示出一些差异。比如有些网站中的用户就是喜欢打高分，而另一些网站的用户就是喜欢打低分。而全局平均数可以表示网站本身对用户评分的影响。

\(b_u\)： 用户偏置（user bias）项。这一项表示了用户的评分习惯中和物品没有关系的那种因素。比如有些用户就是比较苛刻，对什么东西要求都很高，那么他的评分就会偏低，而有些用户比较宽容，对什么东西都觉得不错，那么他的评分就会偏高。

\(b_i\)： 物品偏置（item bias）项。这一项表示了物品接受的评分中和用户没有什么关系的因素。比如有些物品本身质量就很高，因此获得的评分相对都比较高，而有些物品本身质量很差，因此获得的评分相对都会比较低。

有人就说了，这些偏置参数怎么定呢？难道我要预先把所有的数据集计算一遍？❌

才不需要呢，这些偏置参数也是通过学习而来，所以现在我们需要学习的矩阵参数变成了5个。😺

这个时候我们的损失函数变为：

\(E = \sum_{(u,i)\in \mathcal{k}}(r_{ui}-\mu - b_i - b_u - \mathbf{q}_i^T\mathbf{p}_u)^2 + \lambda (\lVert p_u \rVert^2 + \lVert q_i \rVert^2 + b_u^2 + b_i^2) \tag{5}\)

此时，我们的梯度下降也变成了这样：(\(\gamma\)为学习率)

\(b_u\leftarrow b_u + \gamma (e_{ui} - \lambda b_u) \tag{6}\)

\(b_i \leftarrow b_i + \gamma (e_{ui} - \lambda b_i \tag{7})\)

\(p_u \leftarrow p_u + \gamma (e_{ui} \cdot q_i - \lambda p_u) \tag{8}\)

\(q_i \leftarrow q_i + \gamma (e_{ui} \cdot p_u - \lambda q_i) \tag{9}\)

说到这里，SVD算法的本质是帮我们找到（学习出）item中隐含的维度（features），这些隐含的维度可以是（类型，派别，国别，或者两个组合，n种组合等等），SVD还可以找到（学习出）用户对各个维度（features）的类别喜爱程度。我们要做的只是指定维度的数量(n_factors)，SVD会自动帮我们干好接下来的工作。

二、surprise

其实，当我知道要使用一个新库👖的时候，我是拒绝的。但是没办法，从头写代码实在是力不从心，把库中的代码先变成自己的再说是吧。下面先介绍surprise库的基本使用，然后重点分析里面的SVD算法。首先，import：

from surprise import SVD
from surprise import Dataset, Reader
from surprise.model_selection import cross_validate, train_test_split

1、初始化`reader`

制定评分范围为1-5，数据格式为四个

reader = Reader(rating_scale=(1, 5), line_format='user item rating timestamp')

2、初始化`Dataset`

传入的数据有四列。其实Reader和Dataset这两个类可以这样理解，前者为框架，定好各种参数，后者填入相应数据。

df_data = pd.read_csv('./data/ml-latest-small/ratings.csv', usecols=['userId','movieId','rating'])

data = Dataset.load_from_df(df_data, reader)
data

<surprise.dataset.DatasetAutoFolds at 0x1192bff60>

这里我们创建了一种新的类型 surprise.dataset，这已经不是pandas的dataframe，这样做的目的只是方便我们更好使用surprise的各种API。里面的数据格式是这样的：

elif df is not None:
            self.df = df
            self.raw_ratings = [(uid, iid, float(r) + self.reader.offset, None)
                                for (uid, iid, r) in self.df.itertuples(index=False)]

PS: 在查看源码的过程后，我发现surprise的load_from_df无法把dataframe里面的timestamp列包含进去。可能这是个bug？可以issue一下。

3、拆分data

trainset, testset = train_test_split(data, test_size=0.2)   ###  实际调用 .split.ShuffleSplit()
trainset

<surprise.trainset.Trainset at 0x1131e6160>

4、训练模型

我们先来剖开surprise的SVD函数内部看看：

根据(4)式，定义p和q：

pu = rng.normal(self.init_mean, self.init_std_dev, (trainset.n_users, self.n_factors))
qi = rng.normal(self.init_mean, self.init_std_dev, (trainset.n_items, self.n_factors))

其中rng为np.random.RandomState(random_state)，参数为随机数种子。

定义后，pu为一个n✖️f矩阵，qi为一个m✖️f矩阵

for current_epoch in range(self.n_epochs):

    for u, i, r in trainset.all_ratings():

        # 计算(5)的第一项
        dot = 0  # <q_i, p_u>
        for f in range(self.n_factors):
            dot += qi[i, f] * pu[u, f]
        err = r - (global_mean + bu[u] + bi[i] + dot)

        # update biases
        if self.biased:
            # 根据式(6)
            bu[u] += lr_bu * (err - reg_bu * bu[u])
            # 根据式(7)
            bi[i] += lr_bi * (err - reg_bi * bi[i])

        # update factors
        for f in range(self.n_factors):
            puf = pu[u, f]
            qif = qi[i, f]
            # 根据式(8)
            pu[u, f] += lr_pu * (err * qif - reg_pu * puf)
            # 根据式(9)
            qi[i, f] += lr_qi * (err * puf - reg_qi * qif)

好，现在开始训练模型，这里给定隐含的特征为30个。

model = SVD(n_factors=30)
model.fit(trainset)

<surprise.prediction_algorithms.matrix_factorization.SVD at 0x1138c1da0>

我们来看看模型生成的pu和qi矩阵，似乎很符合我们的要求。

print(model.pu.shape)
print(model.qi.shape)

(671, 30)
(8382, 30)

5、推荐

终于到推荐环节了，前面做的所有工作都是为了这一刻。推荐也分为几种类型。一种是预测某个人对某部电影的评分，另一种是推荐给某个人新的几部电影。

这里我们预测userId为2对于movieId为14的评分：

model.predict(2,14)

Prediction(uid=2, iid=14, r_ui=None, est=3.3735354350374438, details={'was_impossible': False})

推荐电影可以用.get_neighbors()函数

Reference:

文献：

Ma C C. A Guide to Singular Value Decomposition for Collaborative Filtering[J]. 2008.
Koren Y, Bell R, Volinsky C. Matrix Factorization Techniques for Recommender Systems[J]. Computer, 2009, 42(8):30-37.

posted @ 2018-07-24 11:01 Byron_NG 阅读(18724) 评论(1) 编辑收藏举报

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从SVD到推荐系统

一、Singular Value Decomposition（SVD）

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Math

Improvements(adding bias)

二、surprise

1、初始化`reader`

2、初始化`Dataset`

3、拆分data

4、训练模型

5、推荐

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二、surprise

1、初始化reader

2、初始化Dataset

3、拆分data

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1、初始化`reader`

2、初始化`Dataset`