红黑树（Red Black Tree）

和AVL树一样，红黑树也是一种自平衡二叉排序树，其定义如下：

（1）节点有且只有两种颜色，红色和黑色。

（2）根节点和叶子节点必须是黑色，其中，叶子节点是虚拟存在的空节点（NULL）。

（3）红色节点的两个子节点必须是黑色。

（4）任意节点到叶子节点的路径上，必须包含相同数目的黑色节点。

从红黑树的定义可以发现，任意节点左右子树的高度差在一倍之内（最长路径为节点红黑相间，最短路径为节点全黑）。

由于红黑树对平衡性的要求没有AVL树高，因此频繁插入和删除节点时，触发平衡调整的次数更少，平衡调整的过程也更易收敛。

1. 插入节点

新插入节点x，x.color = RED，未违背定义（1）（2）（4），可能违背定义（3）。

若根节点ROOT==  NULL，则ROOT= x，ROOT.color = BLACK，RETURN。

LOOP：

（1）若当前节点x == ROOT，则ROOT.color = BLACK，RETURN。

（2）若父节点px = x.parent，px.color == BLACK，则未违背定义（3），RETURN。

（3）爷爷节点ppx = px.parent（ppx一定为黑色）。假设px为ppx的左孩子（px为右孩子的情况同理），则叔叔节点ux = ppx.right：

（特殊情况一）ux为黑色，x为px的左孩子

　　　　　　

px.color = BLACK，ppx.color = RED，再以ppx为支点右旋，回到LOOP（到（2）时RETURN）。

（情况二）ux为黑色，x为px的右孩子

　　　　　　

 

以px为支点左旋，当前节点x = px，进入（特殊情况一）。

（情况三）ux为红色

　　　　　　

px.color = BLACK，ux.color = BLACK，ppx.color = RED，当前节点x = ppx，回到LOOP。

2. 删除节点

若被删除节点m的左右子树非空，则将左子树的最大节点（或右子树的最小节点）n的数据保存到节点m上，再删除节点n。

若n.color == RED，则未违背定义（1）（2）（3）（4），RETURN。

若n.color == BLACK，则未违背定义（1）（2），可能违背定义（3）（4）。设节点n的孩子节点为x：

（1）若n.parent == NULL（即n == ROOT），且x == NULL，则说明n为唯一节点，未违背定义（3）（4），RETURN。

（2）若n.parent == NULL（即n == ROOT），且x != NULL，则说明x将为根节点，ROOT = x。

（3）若n.parent != NULL，且x == NULL，则x = n，待平衡调整完毕后再删除x。

（4）若n.parent != NULL，且x != NULL，则删除节点n，节点n的孩子节点x替到n的位置。

LOOP：

（1）若当前节点x == ROOT，则x.color = BLACK，RETURN。

（2）若x.color == RED，则x.color = BLACK，RETURN。

（3）父节点px = x.parent，假设x为px的左孩子（x为右孩子的情况同理），则兄弟节点sx = px.right：

（特殊情况一）sx为黑色，sx的右孩子srx为红色

　　　　　　

sx.color = px.color，px.color = BLACK，srx.color = BLACK，再以px为支点左旋，x = ROOT，回到LOOP（到（1）时RETURN）。

（情况二）sx为黑色，sx的右孩子srx为黑色，sx的左孩子slx为红色

 　　　　　　

slx.color = BLACK，sx.color = RED，再以sx为支点右旋，进入（特殊情况一）。

（情况三）sx为黑色，sx的右孩子srx为黑色，sx的左孩子slx为黑色

　　　　　　

sx.color = RED，当前节点x = px，回到LOOP。

（情况四）sx为红色（px一定为黑色，sx的两个孩子节点一定为黑色）

　　　　　　

 

px.color = RED，sx.color = BLACK，再以px为支点左旋，进入（特殊情况一）或（情况二）或（情况三）。