006-数据结构-树形结构-二叉树、二叉查找树、平衡二叉查找树-AVL树

一、概述

　　树其实就是不包含回路的连通无向图。树其实是范畴更广的图的特例。

　　树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

1.1、树的特性：

　　每个结点有零个或多个子结点；没有父结点的结点称为根结点；每一个非根结点有且只有一个父结点；除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树；

1）一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通；
2）一棵树如果有 $n$

$n$

　　二叉树、二叉查找树、平衡二叉树【平衡查找树之AVL树、平衡二叉树之红黑树】、B树、B+树、B*数据、Trie树

1.3、树的遍历

　　遍历表达法有3种方法：先序遍历、中序遍历、后序遍历【技巧：指根结点的遍历，从左至右，如先序遍历，从根出发，先序就是先遍历跟，然后从左至右即可，ABDECF】
　　例如图：
　　其先序遍历为ABDECF
　　其中序遍历为DBEAFC
　　其后序遍历为DEBFCA

　　注：层次遍历（从上至下，从左至右）【ABCDEF】

二、详解各类树

2.1、二叉树

二叉树是一种特殊的树。二叉树的特点是每个结点最多有两个儿子。
二叉树使用范围最广。一颗多叉树也可以转化为二叉树。

2.1.1、满二叉树

　　二叉树中每个内部节点都有两个儿子。满二叉树所有的叶节点都有相同的深度。

　　满二叉树是一棵深度为h且有2h−1个结点的二叉树。

2.1.2、完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

公式总结：
1）已知完全二叉树的总节点数为n求叶子节点个数：
　　当n为奇数时：（n+1）/2
　　当n为偶数时 : （n）/2

2）已知完全二叉树的总节点数为n求父节点个数：为：n/2

3）已知完全二叉树的总节点数为n求叶子节点为2的父节点个数：
　　当n为奇数时：n/2
　　当n为偶数时 : n/2-1

4）如果一棵完全二叉树有N个结点，那么这棵二叉树的深度为【log2（N+1）log2（N+1）】（向上取整）
　　完全二叉树最典型的应用就是堆。

2.2、二叉查找树【二叉排序树、二叉搜索树】

　　二叉查找树定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
　　　　1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
　　　　2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
　　　　3) 左、右子树也分别为二叉排序树；
　　　　4) 没有键值相等的节点。

　　二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

　　二叉查找树的时间复杂度：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logn)，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡，需要进行n次查找操作。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。

　　二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。

　　二叉查找树的插入过程如下：

　　　　1) 若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点;

　　　　2) 若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中;

　　　　3) 若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中。

　　二叉查找树的删除，分三种情况进行处理：
　　　　1) p为叶子节点，直接删除该节点，再修改其父节点的指针（注意分是根节点和不是根节点），如图a;
　　　　2) p为单支节点（即只有左子树或右子树）。让p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可（注意分是根节点和不是根节点），如图b;
　　　　3) p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y，因为y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替p的值；或者方法二是找到p的前驱x，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。如图c。【删除5的话，将最左子节点上移动】

代码地址：地址中的data-004-tree中 BinaryTree

2.3、平衡二叉树

　　对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log₂n，其各操作的时间复杂度O(log₂n)同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。于是就有了我们下边介绍的平衡二叉树。

　　平衡二叉树定义：平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O(log2n)，大大降低了操作的时间复杂度。

　　最小二叉平衡树的节点的公式如下：F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

　　这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

2.3.1、AVL树

　　AVL树定义：AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 "An algorithm for the organization of information" 中发表了它。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

　　AVL树最关键的也是最难的一步操作就是旋转。旋转主要是为了实现AVL树在实施了插入和删除操作以后，树重新回到平衡的方法。

　　AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

　　AVL树的自平衡操作——旋转：

　　　　AVL树最关键的也是最难的一步操作就是旋转。旋转主要是为了实现AVL树在实施了插入和删除操作以后，树重新回到平衡的方法。

　　如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

　　上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

　　AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

　　　　(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
　　　　例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

　　　　(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

　　　　　　例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

　　　　(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

　　　　　　例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

　　　　(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
　　　　　　例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

2.3.1.1、LL的旋转

　　LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

　　图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
　　对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

/*
 * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) {
    AVLTreeNode<T> k1;

    k1 = k2.left;
    k2.left = k1.right;
    k1.right = k2;

    k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
    k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1;

    return k1;
}

2.3.1.2、RR的旋转

　　理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

　　图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

/*
 * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    AVLTreeNode<T> k2;

    k2 = k1.right;
    k1.right = k2.left;
    k2.left = k1;

    k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
    k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1;

    return k2;
}

2.3.1.3、LR的旋转

　　LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

　　第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

/*
 * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) {
    k3.left = rightRightRotation(k3.left);

    return leftLeftRotation(k3);
}

2.3.1.4、RL的旋转

　　RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

　　第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。

/*
 * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    k1.right = leftLeftRotation(k1.right);

    return rightRightRotation(k1);
}

代码地址：地址中的data-004-tree中 AVLTree

测试分析，测试结果

== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 
== 前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
== 后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 
== 高度: 5
== 最小值: 1
== 最大值: 16
== 树的详细信息: 
is root
is  7's   left child
is  4's   left child
is  2's   left child
is  2's  right child
is  4's  right child
is  6's   left child
is  7's  right child
is 13's   left child
is 11's   left child
is  9's   left child
is  9's  right child
is 11's  right child
is 13's  right child
is 15's   left child
is 15's  right child

== 删除根节点: 8
== 高度: 5
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 
== 树的详细信息: 
is root
is  7's   left child
is  4's   left child
is  2's   left child
is  2's  right child
is  4's  right child
is  6's   left child
is  7's  right child
is 13's   left child
is 11's   left child
is  9's  right child
is 11's  right child
is 13's  right child
is 15's   left child
is 15's  right child

1. 新建AVL树

2. 依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL树中。

2.01 添加3,2
添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。