dp动态规划

数位dp

离谱dp，常用于有位置与位置之间的限制并计数的问题中。通过记忆化搜索求出。

代码大致模板：

const int N = 50;
//数的最高位数，可以往大点开

int s[N], tot;
//栈用来存每位的数值
int dp[N][2][2];
//状态可能还会多一些，大致与 Dfs 状态同步

inline int Dfs(int x, bool f1, bool f2){
//x 表示当前是第几位，f1 表示是否为前缀0部分，f2 表示是否为连续最高位
//后面会依题目加其他限制，视情况而定
	if(){
	//有的题目此处会有无法产生贡献的性质
		return 0;
	}
	if(!x){
	//枚举完了
		return 1;
		//此处看题目要求返回贡献值
	}
	
	if(dp[x][f1][f2] != -1){
	//记忆化
		return dp[x][f1][f2];
	}
	
	int mx = f2 ? s[x] : 9;
	//看当前位的最大取值范围，因题目而异，如十进制为 9 ，二进制为 1
	int sum = 0;
	//统计当前答案用
	
	for(int i = 0; i <= mx; ++ i){
		sum += Dfs(x - 1, f1 && (i == 0), f2 && (i == mx));
		//转移，继承状态
	}
	
	return dp[x][f1][f2] = sum;
	//记忆化
}

inline int ask(int x){
	tot= 0;
	//清空栈
	while(x){
		s[++ tot] = x % 10;
		//取最后一位
		x /= 1;
		//除去最后一位
	}
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	//清空 dp 数组
	return Dfs(tot, 1, 1);
	//返回答案
	//起始状态肯定满足为最大位且为前缀0位
}

例题：

P4124 [CQOI2016] 手机号码

发现题目中的限制为：无前缀0, \(3\) 个相邻的相同数字，不同时出现 \(4\) ,\(8\) ，一定为 \(11\) 位。

那我们就要在状态中体现出这些限制，令 \(dp[x][l][ll][x4][x8][y][f1][f2]\) 表示：当前为第 \(x\) 位，上一位数值 为 \(l\) ，上上位数值为 \(ll\) ，是否有 \(4\) ，是否有 \(8\) ，是否满足有三个连续相同，是否为前缀0部分，是否为连续最高位。

同理，Dfs 也为这些状态。在有不满足限制时返回 \(0\) 即可，其余为正常转移。注意位数的特判，不满 \(11\) 位时也需直接返回 \(0\) 。

P4317 花神的数论题

关于 \(sum_i\) 明显为数位dp求的东西，但最后的乘积的不可能直接计算的，我们需要转换思路。

数位dp是用来求满足条件的数量的，我们便可以将题目转为求出每个 \(sum_i = x\) 的 \(i\) 的个数，答案用快速幂计算即可，复杂度不高。