[转]如何理解矩阵乘法的规则

[转]如何理解矩阵乘法的规则

转自（http://news.cnblogs.com/n/528288/）

我加入了自己的理解。

 

作者： 阮一峰

　　大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。

　　刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

　　矩阵减法也类似。

　　矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。

　　但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。

　　这个结果是怎么算出来的？

　　教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2 和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1 和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

　　也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

　　怎么会有这么奇怪的规则？

　　我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。

　　前些日子，受到一篇文章的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

　　下面是一组线性方程式。

　　矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。

　　老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的 2 和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

（BIT祝威注：上面这两种书写方式，应当看做两种数据，下面这种数据就叫做“矩阵”。每个小括号里括起来的，就是一个“矩阵”数。上下两种方式相对照，会发现他们有一一对应关系。正是因为这种一一对应关系，才使得我们可以从方程组的形式得到“矩阵”这种新数据的乘法的计算方法。）

　　下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。

　　x 和 t 的关系如下。

　　有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

　　从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。

　　上面的方程组可以整理成下面的形式。

　　最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

　　矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。

 （BIT祝威注：这里还隐含着“矩阵”这种数据的乘法具有结合性。）