[leetcode] Search a 2D Matrix II

• Question : 

  Search a 2D Matrix II

  Write an efficient algorithm that searches for a value in an m x n matrix. This matrix has the following properties:

  • Integers in each row are sorted in ascending from left to right.
  • Integers in each column are sorted in ascending from top to bottom.

  For example,

  Consider the following matrix:

  [
    [1,   4,  7, 11, 15],
    [2,   5,  8, 12, 19],
    [3,   6,  9, 16, 22],
    [10, 13, 14, 17, 24],
    [18, 21, 23, 26, 30]
  ]
  

  Given target = 5, return true.

  Given target = 20, return false.

  • 群暉面試考題
• idea : 
  • 假設 m 是 row, n 是 column
  • 這是一個楊氏矩陣，由1900年, 劍橋大學數學家Young tableau 所提出。
  • 談到搜尋法 就不得不提最常考的Binary Search這應用很廣。
1. (Binary Search) :
   　　直接對每row都各別做Binary Search.則Time complexity: O(m*lgn)
2. (walk-wise) :
   觀察楊氏矩陣特性, 發覺每一個矩陣的元素，都小於其下column的元素，且都大於其左row的元素。
   因此，我們可以選從右上角開始走訪。當target > matrix[m][n], 我們忽略 matrix[m][0] ~  matrix[m][n]。
   也就是matrix[m][n]的左列元素，往下走訪。當target < matrix[m][n], 忽略matrix[m][n] ~ matrix[col-1][n], 往左走。
   Time complexity : O(m+n)
   
   舉例上圖來說，最右上角是15. 其左邊同列1, 4, 7, 11 皆小於15，但下面同行19, 22, 24, 30皆大於15
   假設target = 13, 所以我們必須往左走。忽略正下方的這行。
3. 四分法:
   採用Divide and conquer, 每次砍1/4的matrix
   Time Compexity : 

   T(n) = 3 * T(n/4) + c

   which leads to

   T(n) = O(n^log4(3)) = O(n^0.7925)
   發覺跟上個方法的time compexity 無法比較, 因為上個方法的input data size 是基於matrix : m*n
   而這次的n是基於整個matrix總共有幾個數字。
   所以我們再次用matrix的行列個數來求time compexity, 好讓各解法的時間複雜度都在同一個起點。
   Here T(n) defines a problem on a matrix with size n x n.
   Similarly T(n/2) should define a problem on a matrix with size n/2 x n/2.
   when you divide the matrix in 4 parts that gives you 4 matrices with size n/2 x n/2.
   So each sub problem is T(n/2).
   所以為了比較方面我們改寫成：T(n) = 3T(n/2) + c. By master's theorem
   T(n)=O(n^1.58)

4. 二分法:
   比四分法更好的是，我們只需要分別對兩個sub-matrix with n/2 x n/2. 做運算。而四分法需對三個。
   T(n) = 2T(n/2)+cn, 其中cn是針對中間行，或中間列，或對角線上元素做運算之成本
   O(n lg n)
5. 改進二分法:
   二分法中，cn的部分是線性掃描時間，改用binary search
   T(n) = 2T(n/2)+c*lgn, 因為lgn > n 不能用master's theorem
   疊代法得T(n) = O(n)
   
   
• Code :
  　　　[walk-wise]

  • bool searchMatrix(int** matrix, int matrixRowSize, int matrixColSize, int target) {
        int m = 0;
        int n = matrixColSize-1;
        while(n>=0 && m <= matrixRowSize -1 ) {
            if(matrix[m][n] > target)
                n--;
            else if (matrix[m][n] < target)
                m++;
            else 
                return true;
        }
        return false;
    }
    

心得：面試考題，大多可以延伸，或者可以有很多種作法。重點是白板應該不會考太長的。
• 另外，群暉面試時有問到如何傳回i,j值。也就是第幾行第幾列。我的想法是 return &matrix[m][n] - &matrix[0][0]; 到main() 時
  i = searchMatrix(...) / matrixColSize;
  j = searchMatrix(...)% matrixColSize;
• C is row-major
• see also :

• • search a 2d matrix 
  • http://blog.csdn.net/sgbfblog/article/details/7745450
  • http://articles.leetcode.com/2010/10/searching-2d-sorted-matrix-part-ii.html