计蒜之道2019 复赛 A.外教 Michale 变身大熊猫 线段树辅助建分层图dp

题意：给出一个序列，随机取出其中一条最长上升子序列，问你取到每个数的概率是多少。

 

说起概率，我们可以尝试去求最长上升子序列的个数，显然每个点被取到的概率是 含有这个点的最长上升子序列个数/总共最长上升子序列的个数。

首先我们假设dp[i]为到这个点的最长上升子序列长度。

这个事情我们需要建立一个分层图，第x层含有dp[i]=x的点。

举个例子，对于序列A 1 7 6 8 2 4 3

它的dp数组值是          1 2 2 3 2 3 3

我们就可以建立一个这样的图，来求从前往后取最长上升子序列的方案数，比如8的方案就可以从7、6继承。

点1的方案数显然是1，6和7则从1继承来了这个方案数，所以也是1，8则从7、6继承，于是方案数是2。

当然我们不能直接建边，那样复杂度就不能接受了，我们得利用线段树来求一个点前驱方案数之和。

 

好了，到了这里，我们求出了从前往后到这个点的方案数的和，但是这显然不是最终答案，比如例子中的2，顺着的方案数显然是1，但是却有1-2-4和1-2-3两种方案！

怎么办呢？很简单，我们只要反着从后往前再求一次这个方案数，将正反方案数相乘，就是包含这个点的方案数总和，例如点2就是1*2=2，这样就符合答案了。

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=998244353;
int i,i0,n,m,a[500005],tree[4*500005],dp[500005],d[500005],dd[500005];
long long ans[500005];
vector<int>v,q[500005];
void extgcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{extgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
long long inv(long long a,long long n)
{
    long long d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}
void c_tree(int l,int r,int p,int a,int v)
{
    if(l==r)tree[p]=v;
    else
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(a<=mid)c_tree(l,mid,p*2,a,v);
        else c_tree(mid+1,r,p*2+1,a,v);
        tree[p]=max(tree[p*2],tree[p*2+1]);
    }
}
int q_tree(int l,int r,int p,int a,int b)
{
    if(a==l&&b==r)return tree[p];
    int mid=(l+r)/2;
    if(b<=mid) return q_tree(l,mid,p*2,a,b);
    else if(a>=mid+1)return q_tree(mid+1,r,p*2+1,a,b);
    else return max(q_tree(l,mid,p*2,a,mid),q_tree(mid+1,r,p*2+1,mid+1,b));
}
void c0_tree(int l,int r,int p,int a,int v)
{
    if(l==r)
    {
        tree[p]+=v,tree[p]%=mod;
        if(tree[p]<0)tree[p]+=mod;
    }
    else
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(a<=mid)c0_tree(l,mid,p*2,a,v);
        else c0_tree(mid+1,r,p*2+1,a,v);
        tree[p]=(tree[p*2]+tree[p*2+1])%mod;
    }
}
int q0_tree(int l,int r,int p,int a,int b)
{
    if(a==l&&b==r)return tree[p];
    int mid=(l+r)/2;
    if(b<=mid) return q0_tree(l,mid,p*2,a,b);
    else if(a>=mid+1)return q0_tree(mid+1,r,p*2+1,a,b);
    else return (q0_tree(l,mid,p*2,a,mid)+q0_tree(mid+1,r,p*2+1,mid+1,b))%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
    sort(v.begin(),v.end()),v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
    for(i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(v.begin(),v.end(),a[i])-v.begin()+1;
    int mx=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=q_tree(0,n,1,0,a[i]-1)+1;
        q[dp[i]].push_back(i),mx=max(mx,dp[i]);
        c_tree(0,n,1,a[i],dp[i]);
    }
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    for(int i0:q[mx])
    {
        dd[i0]=1;
    }
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    for(i=mx;i>=2;i--)
    {
        for(int x=q[i-1].size()-1,y=q[i].size()-1;x>=0;x--)
        {
            while(y>=0&&q[i][y]>q[i-1][x])c0_tree(0,n+1,1,a[q[i][y]],dd[q[i][y]]),y--;
            dd[q[i-1][x]]=q0_tree(0,n+1,1,a[q[i-1][x]]+1,n+1);
        }
        for(int x=q[i-1].size()-1,y=q[i].size()-1;x>=0;x--)
        {
            while(y>=0&&q[i][y]>q[i-1][x])c0_tree(0,n+1,1,a[q[i][y]],-dd[q[i][y]]),y--;
        }
    }
    for(int i0:q[1])
    {
        d[i0]=1;
    }
    for(i=2;i<=mx;i++)
    {
        for(int x=0,y=0;x<q[i].size();x++)
        {
            while(y<q[i-1].size()&&q[i-1][y]<q[i][x])c0_tree(0,n+1,1,a[q[i-1][y]],d[q[i-1][y]]),y++;
            d[q[i][x]]=q0_tree(0,n+1,1,0,a[q[i][x]]-1);
        }
        for(int x=0,y=0;x<q[i].size();x++)
        {
            while(y<q[i-1].size()&&q[i-1][y]<q[i][x])c0_tree(0,n+1,1,a[q[i-1][y]],-d[q[i-1][y]]),y++;
        }
    }
    for(i=1;i<=mx;i++)
    {
        long long sum=0;
        for(int x:q[i])sum+=(long long)d[x]*dd[x],sum%=mod;
        for(int x:q[i])ans[x]=(long long)d[x]*dd[x]%mod*inv(sum,mod)%mod;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)printf("%lld%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
    return 0;
}