POJ 2234 MATCHES GAME （尼姆博弈）

本文来自CSDN博客，出处：http://blog.csdn.net/kongming_acm/archive/2010/07/13/5731584.aspx

随机博弈指的是这样的一个博弈游戏，目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：
1)每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；
2)如果谁取到最后一枚石子就胜。
也就是尼姆博弈（Nimm Game）。
必败局面：也叫奇异局势。无论做出何出操作，最终结果都是输的局面。必败局面经过2次操作后，可以达到另一个必败局面。
必胜局面：经过1次操作后可以达到必败局面。
即当前局面不是必败局面就是必胜局面，而必胜局面可以一步转变成必败局面。
最终状态：
（1）最后剩下一堆石子；（必胜局面）
（2）剩下两堆，每堆一个；（必败局面）
（3）当石子剩下两堆，其中一堆只剩下1颗，另一堆剩下多于n颗石子时，当前取的人只需将多于1颗的那一堆取出n-1颗，则局面变为刚才提到的必败局面。（必胜局面）
判断当前局势是否为必胜（必败）局势：
1）把所有堆的石子数目用二进制数表示出来，当全部这些数按位异或结果为0时当前局面为必败局面，否则为必胜局面；
2）在必胜局面下，因为所有数按位异或的结果是大于零的，那么通过一次取，将这个（大于其它所有数按位异或的结果的）数下降到其它所有数按位异或的结果，这时局面就变为必败局面了。
定理：一组自然数中必然存在一个数，它大于等于其它所有数按位异或的结果。
证明：原命题等价于，设a1＾a2＾... ＾an=p，p≠0时，必存在k，使得ak＾p<ak（当p=0时，对于任意的k，有ak＾p=ak）。
设p的最高位是第q位，则至少存在一个k，使得ak的第q位也是1，而ak＾p的第q位为0，所以ak^p<ak
    补缀一点，（a＾b）＾b=a＾（b＾b）=a＾0=a，所以ak＾p相当于“其它所有数按位异或的结果”。
参考：https://sites.google.com/site/lene13/Home/sophi-mass/0-7

例1：2 45 45

45＾45＝0,45和45的异或等于0。
例 2：3 3 6 9

局势（3,6，9）因为3＾6＾9不等于0，所以这是一个必胜局势。
　3　011

＾6　110

　5　101　
即从第3堆中的9个中取走9－5＝4个，则（3,6，9）－＞（3,6，5），3＾6＾5＝0，故（3,6，5）为奇异局势，即从必胜局势转变成必败局势。
 

（未完成）