【总结】 矩阵快速幂

前言

如果有不清楚矩阵乘法的，可以加QQ了解一下：3099895260

如果会的话可以跳过这个步骤

就是我们设两个矩阵为\(a\),\(b\)。他们两个可以乘在一起当且仅当第一个矩阵为\(n*p\)且第二个矩阵\(p*m\)，他们乘起来的结果是\(c\)矩阵，\(n*m\)

然后乘法就是这样子实现的.

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
            c[i][j]=a[i][k]*b[k][j];

然后如果有多个同样子的矩阵乘在一起，就可以像普通乘法快速幂。

正话

矩阵快速幂的板子基本上是没有用的，真正在题目中出现的还是矩阵加速。

我们先来看一道题目：矩阵加速(数列)

这显然是递推对吧，但是因为\(n<=2*10^9\)十分无奈，所以考虑优化。

我们来深层次挖掘一下他的式子：

\(a_i=a_{i-1}+a_{i-3}(i>3)\)

这个东西有什么用呢？

我们令一个矩阵为\(S\{3*1\}={a_i,a_{i-1},a_{i-2}}\)

那么如果我们要递推呢？

如何转移到\(a_{i+1},a_i,a_{i-1}\)呢？

再令一个矩阵\(T\{3*3\}\)表示一个转移矩阵，那么根据递推式子和矩阵乘法的原则，有一个这样子的矩阵？

\(T[3][3]={1,1,0},{0,0,1},{1,0,0}\)这个可能竖着比较好看。

\(\{1,1,0\}\)

\(\{0,0,1\}\)

\(\{1,0,0\}​\)

那么就是每一列对应着对应位置的转移，大致推导就是这样。

那么考虑简化这个东西。

\(Ans=(((S*T)*T)*T)\)

那么可以把括号拆开，就可以得出\(Ans=S*T^k\)

所以可以矩阵快速幂优化就可以AC！！！

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
inline int gi(){
    int f=1,sum=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*sum;
}
const ll Mod=1e9+7;
struct matrix{
    ll a[3][3];
    matrix operator*(const matrix b)const{
        matrix c;
        for(re int i=0;i<3;i++)
            for(re int j=0;j<3;j++){
                c.a[i][j]=0;
                for(re int k=0;k<3;k++)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%Mod)%Mod;
            }
        return c;
    }
}S,T;
void init(){
    S.a[0][0]=S.a[0][1]=S.a[0][2]=1;
    T.a[0][0]=T.a[0][1]=T.a[2][0]=1;
    T.a[1][1]=T.a[1][0]=T.a[0][2]=T.a[2][1]=T.a[2][2]=0;
    T.a[1][2]=1;
    
}
int n;
int main(){
    int t=gi();
    while(t--){
        n=gi();
        if(n<=2){
            puts("1");continue;
        }
        init();
        n-=3;
        while(n){
            if(n&1)S=S*T;
            T=T*T;n>>=1;
        }
        printf("%lld\n",S.a[0][0]);
    }
    return 0;
}