HDU 1231 题解

 

题面：

最大连续子序列
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)
Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Problem Description
给定K个整数的序列{ N1, N2, …, NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …,
Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，
例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和
为20。
在今年的数据结构考卷中，要求编写程序得到最大和，现在增加一个要求，即还需要输出该
子序列的第一个和最后一个元素。

Input
测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( < 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output
对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元
素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。

Sample Input
6
-2 11 -4 13 -5 -2
10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21
6
5 -8 3 2 5 0
1
10
3
-1 -5 -2
3
-1 0 -2
0

Sample Output
20 11 13
10 1 4
10 3 5
10 10 10
0 -1 -2
0 0 0

题解：

我们很容易想到的一个方法是维护前缀和，因为连续子序列的元素和等于两个前缀和之差，然后我们只要枚举两个前缀和就可以了
时间复杂度O(k2)O(k2)

s[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i]
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++) maxsum=max(s[j]-s[i-1],maxsum)
}

由于k<104k<104,这样的算法很明显会TLE

许多人第一次看到这道题时会想到最长上升子序列，想用DP求解，事实上这个思路是正确的。
现在我们来推导状态转移方程
子状态：f[i]f[i]表示在ii位置的最大连续子序列
（1）a[i]a[i]与a[i−1]a[i−1]构成连续子序列，则ii处的最大连续子序列值等于i−1i−1处的最大连续子序列值+a[i]a[i]
（2）a[i]a[i]构成新一个子序列，最大连续子序列值等于a[i]a[i]
状态转移方程：f[i]=max(f[i−1]+a[i],a[i])f[i]=max(f[i−1]+a[i],a[i])
时间复杂度O(k)O(k)
代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 10005
using namespace std;
int k;
int a[maxn],f[maxn];
int ax,ay, asum;
inline int fastread() {//数据量大，用快速读入
    int x=0,sign=1,c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {
        if(c=='-') sign=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*sign;
}
int main() {
    int flag;
    while(cin>>k&&k!=0) {
        flag=0;
        asum=ax=ay=0;
        f[0]=0;//记得初始化
        for(int i=1;i<=k;i++) {
            a[i]=fastread(); 
            if(a[i]<0) flag++;
        }
        if(flag==k) {//全是负数时的特判
            printf("0 %d %d\n",a[1],a[k]);
            continue;
        }
        for(int i=1;i<=k;i++) {
            if(f[i-1]+a[i]>a[i]) f[i]=f[i-1]+a[i];//dp
            else f[i]=a[i];
            if(f[i]>asum){
                asum=f[i];//更新最大和
                ay=i;//更新右端点
            }
        }
        int tmp=0;
        for(int i=ay;i>=1;i--){//由右端点反推左端点
            tmp+=a[i];
            if(tmp==asum){
                ax=i;
                break;
            }
        }
        printf("%d %d %d\n",asum,a[ax],a[ay]);
    }
}