[自用]力学学习笔记

动力学

质点动力学

动量 \(\bm{P}=m\bm{v}\)

质量\(m\)

力 \(\bm{F}=\frac{d\bm{P}}{dt}\)

冲量 \(I=\int \bm{F} dt\)

动量定理 \(\bm{P}_2-\bm{P}_1=m(\bm{v}_2-\bm{v}_1)=\int_{t_1}^{t_2} \bm{F} dt\)

系统动量守恒: 条件\(\sum \bm{F}_{外}=\bm{0}\)

牛顿三定律(只在惯性系下成立)

• 第一定律: 惯性定律
• 第二定律:
  对单个质点 \(\bm{F}=\frac{d(m\bm{v})}{dt}=m\bm{a}\)
  对质点组 \(\sum\bm{F}_{外}=\sum_i m_i\bm{a}_i\)
  质心牛二: \(\bm{F}_{外}=m\bm{a}_C\)
  质心系:
• 第三定律: \(\bm{F}_{12}=-\bm{F}_{21}\)

刚体力学

角动量:
质点的角动量\(\bm{J}=m\bm{r}\times \bm{v}\),方向用右手定则判断.在处理平面内问题时只需考虑向纸面内/外,确定正负即可。
刚体定轴转动的角动量 \(\bm{J}=I\bm{\omega}\)

转动惯量\(I=\int r^2 dm\). 单个质点\(I=mr^2\),根据刚体的\(I,m\)解出来的等效半径\(r\)称为回旋半径

力矩 \(\bm{M}=\frac{d\bm{J}}{dt}=\bm{r}\times\bm{F}\)

冲量矩\(\int \bm{M} dt\)

角动量定理\(\bm{J}_2-\bm{J}_1=I(\bm{\omega_2}-\bm{\omega_1})=\int_{t_1}^{t_2} \bm{M} dt\)

系统角动量守恒: 条件\(\sum \bm{M}_外=\bm{0}\)
如:孤立系统\(\bm{F}=\bm{0}\),有心力场\(\bm{F}\)与\(\bm{r}\)平行,叉积为0

刚体的平衡条件（既没有平动，又没有转动）

\[\begin{cases} \sum \bm{F}_{外}=0 \\ \sum \bm{M}_{外}=0\end{cases} \]

其中高中往往忽略了力矩平衡条件。如果是三力平衡,则三力的作用线必汇交于一点，这可以帮助确定力的方向，找几何关系

常见刚体的转动惯量