[自用]高等数学学习笔记-极限

高等数学学习笔记-极限

目录

• 高等数学学习笔记-极限
  • 极限的定义
    • 在一点处的极限
    • 左极限和右极限
    • 在负无穷和正无穷处的极限
  • 极限的性质及其证明
    • 极限的三大基本性质
    • 极限的四则运算法则及其证明
      • 加法法则的证明
      • 乘法法则的证明
      • 除法法则的证明:
    • 夹逼定理
  • 求解具体的极限
    • 多项式函数的极限
    • 三角函数的极限
    • e的定义,指数与对数函数的极限
      • e的定义
      • 指数与对数函数的极限
  • 连续与极限
    • 连续的定义
    • 连续函数

极限的定义

在一点处的极限

极限是有限数:

$\lim_{x \to a}f(x)=L$表示$\forall \varepsilon>0$ , 总 $\exist \delta>0$ 使得 对于所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ ,有 $|f(x)-L|<\varepsilon$

注意极限与$f(a)$这一点无关,它代表函数在$a$附近的性质

无穷极限:

$\lim_{x \to a}f(x)=\infin$表示$\forall M>0$ , 总 $\exist \delta>0$ 使得 对于所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ ,有 $f(x)>M$

即把原始定义中$f(x)$的范围换成$f(x)>M$

左极限和右极限

把原始定义中 $x$ 的范围换成的 $0<x-a<\delta$就得到了左极限,相当于不用管$a$右边的情况。同理换成$0<a-x<\delta$就得到了右极限

当 $\lim_{x \to a^+ }f(x)=\lim_{x \to a^- }f(x)=L$ 时, $f(x)$ 在 $x=a$ 时存在极限,且 $\lim_{x \to a}f(x)=L$ 。

当左极限和右极限不相等时,那么双侧极限不存在. 比如 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$

在负无穷和正无穷处的极限

$\lim_{x \to \infin}f(x)=L$ 表示$\forall \varepsilon>0$ , 总 $\exist n>0$ 使得 对于所有满足 $x>n$ 的 $x$ ,有 $|f(x)-L|<\varepsilon$

即把原始定义中 $x$ 的范围换成 $x>n$. 类似的把$f(x)$换成$a_n$,我们可以定义数列极限，思想是相同的

极限的性质及其证明

在用$\varepsilon-\delta$语言证明极限性质前,我们需要熟悉以下绝对值的性质,因为极限的定义中用到了绝对值

$$||a|-|b||\leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$$

$$|ab| \leq |a||b|$$

极限的三大基本性质

唯一性:函数在某个点上的极限唯一

局部有界性 : 若 $\lim _{x \to a}=A$ ，则 $\exists M>0, \delta>0$ ，对于 $0<\left|x-a\right|<\delta$ ，有 $|f(x)| \leq M$

证明: 由 $\lim _{x \to a}=A$ 可得 $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，在 $0<\left|x-a\right|<\varepsilon$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 那么$|f(x)|=|f(x)-A+A| \leq|f(x)-A|+$ $|A|<\varepsilon+|A|$
于是取 $M=\varepsilon+A$ 即可(实际应用时也可以直接用$\varepsilon+A$代替$M$)

局部保号性 : 若 $\lim _{x \to a} f(x)=A>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 时， $f(x)>0$ 。(小于0同理 )

证明 : 类似局部有界性的证明

$$f(x)=|f(x)|\geq ||f(x)-A|-|A||>|\varepsilon-A|$$

令$\varepsilon=A$即可

在高考导数大题中我们常常需要在$a$附近找到具体的一个$x_0$ 使 $f(x)>0$ 成立,高考评分标准要求写出 $x_0$ 的表达式，事实上是没有必要的 (然而你已经高考完了)

极限的四则运算法则及其证明

极限的四则运算法则如下

若 $\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B$ 则

$\lim_{x \to a} f(x) \pm g(x)=A \pm B$

$\lim_{x \to a} f(x)g(x)=AB$

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \neq 0)$

加法法则的证明

对于$\forall \varepsilon$,
因为$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B$,由极限的定义存在正数 $\delta$, 使得当 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 时, 有

$$\begin{align*} |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2} . \end{align*}$$

从而当 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 时, 有

$$\begin{align*} \mid((f(x) \pm g(x))-(A \pm B)|=|(f(x)-A)\pm (g(x)-B)|\leq| f(x)-A|+| g(x)-B \mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon . \end{align*}$$

所以 $\lim _{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B$.

乘法法则的证明

类似加法法则的证明,我们先列出极限对应的绝对值表达式,再进行放缩

$$\begin{align*} |f(x) g(x)-A B|=|f(x) g(x)-g(x) A+g(x) A-A B| \\ \leqslant|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B| \end{align*}$$

接着我们要利用定义寻找$|f(x)-A|,|g(x)-B|,|g(x)|$的范围

因为 $\lim _{x \to a} g(x)$ 存在, 根据极限的局部有界性存在正数 $M$ 及正数 $\delta_{1}$, 使得当 $0<|x-a \mid<\delta_{1}$ 时, 有
$|g(x)| \leqslant M$

对于任意的正数 $\varepsilon$, 因为
$\lim _{x \to a} f(x)=A, \lim _{x \to a} g(x)=B,$

所以存在正数 $\delta_{2}$, 使得当 $0<|x-a \mid<\delta_{2}$ 时, 有

$$\begin{align*} |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2 M},|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2|A|}(A \neq 0) \text {. } \end{align*}$$

令 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$, 则 $\delta>0$, 且当 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 时, 有

$$\begin{align*} |f(x) g(x)-A B| &=|f(x) g(x)-g(x) A+g(x) A-A B| \\ &\leqslant|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B| \\ &<M \cdot \frac{\varepsilon}{2 M}+|A| \cdot \frac{\varepsilon}{2|A|}=\varepsilon . \end{align*}$$

所以 $\lim _{x \to a} f(x) g(x)=A B$.

除法法则的证明:

容易发现,我们只需要证明$\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}(B\neq 0)$

$$|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}|=\frac{|g(x)-B|}{|g(x)||B|}$$

注意到$|g(x)|$在分母上,要反过来,所以我们需要寻找形如 $g(x)>\square$ 的不等式
所以存在正数$\delta_{1}$, 使得当 $0<|x-a \mid<\delta_{1}$ 时, 有
$|g(x)-|B|| \leqslant \frac{|B|}{2}$

故 $|g(x)|=|g(x)-|B|+|B||\geq ||g(x)-B|-|B|| \geq |\frac{|B|}{2}-|B||=\frac{|B|}{2}$

对于任意的正数 $\varepsilon$,
存在正数 $\delta_{2}$, 使得当 $0<|x-a \mid<\delta_{2}$ 时, 有
$|g(x)-|B||<\frac{|B|^2}{2}\varepsilon$

令 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$, 则 $\delta>0$, 且当 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 时, 有

$$\begin{align*}|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}| &=\frac{|g(x)-B|}{|g(x)||B|} \\ &\leq \frac{\frac{|B|^2}{2}\varepsilon}{\frac{|B|}{2}|B|}=\varepsilon\end{align*}$$

故$\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}(B\neq 0)$

夹逼定理

若在 $a$ 的某个去心邻域内(即 $\exist \delta ,0<|x-a|<\delta$ ), $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立,且 $\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=A$,则 $\lim_{x \to a}f(x)=A$

直观理解是显然的,我们还是可以严格证明:

设$\exist \delta>0 ,0<|x-a|<\delta$, 使得$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立

根据极限的定义, $\forall \varepsilon>0$ , $\exist \delta_1$ ,使得 $0<|x-a|<\delta_1$ 时 $A-\varepsilon<g(x)<A+\varepsilon$(拆开绝对值),同理$\exist \delta_2$ ,使得 $0<|x-a|<\delta_2$ 时 $A-\varepsilon<h(x)<A+\varepsilon$

取 $\delta_0=\min \{ \delta,\delta_1,\delta_2\}$ ,当 $0<|x-a|< \delta_0$时

$$f(x) \geq g(x)>A-\varepsilon \ \\ f(x) \leq h(x)<A+\varepsilon$$

即$|f(x)-A|<\varepsilon$

根据极限定义,$\lim_{x \to a}f(x)=A$.

换成左、右极限或$x \to \infin$处的极限均可证明

求解具体的极限

前面我们证明了极限的四则运算法则,但极限的四则运算法则并不是万能的。因为它只有在各极限存在，且分母不为0时适用。但是，四则运算法则算不出极限，并不代表极限不存在。

多项式函数的极限

一般方法:
由于多项式函数都是连续的,先尝试直接把$x$替换成$a$。

• 如果出现$b/\infin$,则结果为0
• 如果出现$b/0$, 判断正负来确定是$\infin$还是$-\infin$, 若左右极限不同则极限不存在
• 如果有根号,考虑分子有理化
• 尝试因式分解并把公因式约掉
• 如果0/0型

对于 $\lim_{x \to \infin}\frac{p(x)}{q(x)}$ 最大次数的项决定极限的值 $\lim _{x \to \infin} \frac{C}{x^n}=0 (n \in \mathbb{N*})$

三角函数的极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}=0$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$$

$$\lim_{x \to \infin} \frac{\sin x}{x}=0$$

虽然可以洛必达,但为了避免循环论证(三角函数的导数推导中又用到了三角的极限)
证明:

$0<x< \frac{\pi}{2}$时有

$$\sin x < x < \tan x$$

取倒数有

$$\frac{1}{\tan x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}$$

同乘$\sin x$

$$\cos{x}<\frac{x}{\sin x}<1$$

$\lim_{x \to 0^+}\cos x=1, \lim_{x \to 0^+}1=1$

根据夹逼定理, $\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$

$x \to 0^-$的情况用奇函数的性质即可证明. 故

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

$$\begin{aligned}\lim _{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x}&=\lim _{x \to 0}(\frac{1-\cos x}{x}\frac{1+\cos x}{1+\cos x})=\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)}\\ &= \lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} \times \sin x \times \frac{1}{1+\cos x} )\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \times \lim_{x \to 0}\sin x \times \lim_{x \to 0}(\frac{1}{1+\cos x}) \\ &= 0\times 0 \times \frac{1}{2}=0 \end{aligned}$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} \frac{1}{\cos x})=\lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} )\lim_{x \to 0}\times (\frac{1}{\cos x})=1\times 1=1$$

因为$\frac{-1}{x}<\frac{\sin x}{x}<\frac{1}{x}$
由夹逼准则

$$\lim_{x \to \infin} \frac{\sin x}{x}=0$$

e的定义,指数与对数函数的极限

e的定义

在实际问题中,往往要处理这样的极限

$$L=\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n$$

令 $h=\frac{x}{n}$ ,则$n=\frac{x}{h}$

$$L=\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n=\lim _{h \to 0}(1+h)^{x/h}=(\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h})^x$$

里面这个极限看起来是一个常数.(之后可以利用反常积分证明该极限存在)
定义:

$$e=\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h}=\lim_{n \to \infin} (1+\frac{1}{n})^n$$

那么我们就可以写成$\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$. 这就是$e^x$的定义.它可以帮助我们把极限里面的x放到指数上 同理可以定义对数函数

指数与对数函数的极限

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

$$\lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$$

$$\lim_{x \to \infin}e^x=\infin,\lim_{x \to -\infin}e^x=0,\lim_{x \to \infin}\frac{x^n}{e^x}=0$$

$$\lim_{x \to \infin}\ln x=\infin,\lim_{x \to 0^+}\ln x=-\infin,\lim_{x \to 0^+}x^a\ln x=0(a>0)$$

注意到$(e^x)'=\lim_{h \to 0}(e^{x+h}-e^x)/h=e^x$,令$x=0$即可得到第一个极限

连续与极限

连续的定义

在一点处连续:

如果$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$,则$f$在$x=a$处连续

注意该定义要求双侧极限存在、$f(a)$存在(有限的),且这两个量相等. 类似左极限和右极限,我们可以定义左连续和右连续. 如果有连续性可以直接将$a$代入算出$f(a)$作为极限的值

在区间上连续:

如果$f$在$(a,b)$上任意一点都连续,那么它在开区间$(a,b)$上连续

注意该定义不需要端点处连续

如果

1. $f$在$(a,b)$上任意一点都连续
2. $\lim_{x \to a^+}f(x)$ 存在(且有限), $f(a)$ 存在,且这两个量相等 (即在 $x=a$处右连续 )
3. $\lim_{x \to b^-}f(x)$存在(且有限), $f(b)$存在,且这两个量相等 (即在 $x=b$处左连续 )

那么$f$在$[a,b]$上连续

连续函数

对两个连续函数做加法、减法、乘法或复合,会得到另一个连续函数。 如果做除法,除了分母为0的点，商函数处处连续。证明非常简单，用极限的运算法则.

已知$\lim_{x \to a}f(x)=f(a),\lim_{x \to a}g(x)=f(a),h(x)=f(x)+g(x)$

$$\lim_{x \to a}h(x)=\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)=f(a)+g(a)=h(a)$$

由定义常函数是连续的, $f(x)=x$ 也是连续的( $\lim_{x \to a}x=a$ ),根据连续函数的性质,可以推出任何多项式函数都是连续的